2019年、京大文系第3問 - 数式で独楽する

$a,b,c$ を実数とする。次の命題が成立するための、 $a,c$ が満たすべき必要十分条件を求めよ。
さらにこの $(a,c)$ の範囲を図示せよ。
命題
すべての実数 $b$ に対し、ある実数 $x$ が不等式 $ax^2+bx+c<0$ を満たす。

この問題もシンプルに書かれています。
「すべての実数 $b$ 」とあり、 $a$ と $c$ に関する条件を、 $b$ を使わずに表すのでしょう。
「2次式<0」の形になっているので、2次方程式の解の判別式*1を使っていくのでしょう。
この筋で考えていきます。

以下、
\begin{equation}
f(x)=ax^2+bx+c
\end{equation}とします。

補題1

実数 $a,b,c$ を係数に持つ2次方程式
\begin{equation}
f(x)=ax^2+bx+c=0
\end{equation}の判別式
\begin{equation}
D=b^2-4ac
\end{equation}が、

異なる2実数解を持つ必要十分条件は $D>0$
1つの実数解を持つ必要十分条件は $D=0$
実数解を持たない必要十分条件は $D<0$

です。*2

補題2

補題1より、以下のことを導くことができます。

の場合
- $D>0$ の場合、 $f(x)>0$ を満たす実数 $x$ が存在します。
- $D=0$ の場合、 $f(x)=0$ を満たす実数 $x$ がただ1つ存在します。
- $D<0$ の場合、実数 $x$ に対し、常に $f(x)<0$ です。
の場合
- $D>0$ の場合、 $f(x)<0$ を満たす実数 $x$ が存在します。
- $D=0$ の場合、 $f(x)=0$ を満たす実数 $x$ がただ1つ存在します。
- $D<0$ の場合、実数 $x$ に対し、常に $f(x)>0$ です。

グラフを描いてみれば明らかです。
補題2を基に、条件を整理していきます。

$a<0$ の場合

この場合、 $f(x)<0$ を満たす実数 $x$ は必ず存在します。
念のため、場合を分けて見ていきます。

$D<0$ の場合、常に $f(x)<0$ です。
$D=0$ の場合、 $f(x)=0$ となる1点を除き $f(x)<0$ です。
$D>0$ の場合、 $f(x)=0$ となる $x$ は2つあり、この区間では $f(x)<0$ です。

$a=0$ の場合

この場合、 $b \neq 0$ であれば
\begin{equation}
f(x)=bx+c<0
\end{equation}を満たす $x$ は、 $b,c$ に依らず存在します。
\begin{equation}
\left \{
\begin{array}{ll}
x<- \displaystyle \frac{c}{b} & (b>0)\\
x>- \displaystyle \frac{c}{b} & (b<0)
\end{array}
\right.
\end{equation}です。
なお、 $b=0$ の場合は $c<0$ でないと命題は満たされません。

$a>0$ の場合

\begin{equation}
D=b^2-4ac>0
\end{equation}であれば、 $f(x)<0$ を満たす実数 $x$ が存在します。
ここで $a>0$ なので、
\begin{equation}
c<\frac{b^2}{4a}
\end{equation}となります。
ところで、すべての実数 $b$ に対し
\begin{equation}
b^2 \ge 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
c>0
\end{equation}とすれば、 $b$ に依らず
\begin{equation}
D=b^2-4ac>0
\end{equation}となり、 $f(x)<0$ をみたす実数 $x$ が存在することが言えます。
なお、このとき
\begin{equation}
f(0)=c<0
\end{equation}であるので、命題をみたすことは明らかです。

まとめ

以上より、
すべての実数 $b$ に対し、ある実数 $x$ が不等式
\begin{equation}
ax^2+bx+c<0
\end{equation}を満たすための $a,c$ が満たすべき必要十分条件は、
\begin{equation}
a<0またはc<0
\end{equation}となります。
図示は省略します。

おまけ

そもそも
\begin{equation}
f(0)=c<0
\end{equation}が命題を満たしているのは明らかです。
また、
\begin{equation}
a<0
\end{equation}であれば、
\begin{equation}
f(x)=ax^2+bx+c<0
\end{equation}となる $x$ は必ずあります。

*1:2次方程式の解と判別式については、別の記事で見ていくことにします。

*2:これも別の記事で述べることにします。