数式で独楽する

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2次方程式の解の公式と判別式

2019年、京大 文系 第3問 - 数式で独楽する
で触れた、実数 a,b,cを係数に持つ2次方程式
\begin{equation}
ax^2+bx+c=0
\end{equation}の解について見ていきます。
大前提として、2次方程式なので a \ne 0です。


まず、両辺を a( \ne 0)で割ります。
\begin{equation}
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{c}{a}=0
\end{equation}
ここから、「 xの1次式」の2乗=定数の形を作っていきます。
\begin{equation}
(p+q)^2=p^2+2pq+q^2
\end{equation}なので、
\begin{equation}
p=x, \ q=\frac{b}{2a}
\end{equation}
とすれば「 xの1次式」の2乗の形を作ることができます。
両辺に \displaystyle q^2=\frac{b^2}{4a^2}を加え、 \displaystyle \frac{c}{a}を引きます。
\begin{equation}
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}
\end{equation}
式の左辺は、
\begin{equation}
x^2+\frac{b}{a}x+\frac{b^2}{4a^2}=\left( x+\frac{b}{2a} \right )^2
\end{equation}と変形できます。
式の右辺をまとめると、
\begin{equation}
\frac{b^2}{4a^2}-\frac{c}{a}=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\end{equation}となります。
したがって、
\begin{equation}
\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\end{equation}となります。
平方根を取ります。
\begin{equation}
x+\frac{b}{2a}=\pm \frac{\sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation}
よって、
\begin{equation}x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation}となります。

さて、ここまでの式の変形は、逆向きにすることが可能です。つまり、
\begin{equation}x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation}から
\begin{equation}ax^2+bx+c=0
\end{equation}を導くことができます。

式変形の途中で1次式の2乗の形が出てきます。実数の2乗は、必ず0以上になります。
したがって、 b^2-4acが鍵となります。
\begin{equation}
b^2-4ac<0
\end{equation}であれば、
\begin{equation}
\left( x+ \frac{b}{2a} \right)^2=\frac{b^2-4ac}{4a^2}
\end{equation}は成り立ち得ません。
また、
\begin{equation}
b^2-4ac=0
\end{equation}であれば、
\begin{equation}
x= \frac{-b \pm \sqrt{b^2-4ac}}{2a}
\end{equation}の根号の中が0となり、解は1つだけとなります。

\begin{equation}
D=b^2-4ac
\end{equation}とし、この Dを解の判別に使うことができます。2次方程式の判別式といっています。

実数係数の2次方程式
\begin{equation}
ax^2+bx+c=0
\end{equation}は、

  •  D>0の場合、異なる2実数解を持つ
  •  D=0の場合、1実数解を持つ(重解)
  •  D<0の場合、実数解を持たない(異なる2虚数解(共役複素数解)を持つ)

となります。逆も成り立ちます。

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