のような1桁の数の常用対数は幾らか
ということを簡便に見ていきます。
2, 4, 5, 8の常用対数の近似 - 数式で独楽する
で、
\begin{equation}
2^{10}=1024 \approx 10^3
\end{equation}から、
\begin{equation}
\log 2 \approx 0.3
\end{equation}と求めました。
もう少し桁を増やせないか？
やってみました。
先の記事では手計算でしたが、今回はタブレットの関数電卓機能を用いました。
\begin{equation}
2^{1000}=1.071508 \times 10^{301}
\end{equation}両辺の常用対数を取って近似すると、
\begin{equation}
1000 \log 2 \approx 301.0
\end{equation}よって、
\begin{equation}
\log 2 \approx 0.3010
\end{equation}が得られます。
もうひとつ。
3, 6, 7, 9の常用対数の近似 - 数式で独楽する
では、
\begin{equation}
3^4=81 \approx 80=2^3 \times 10
\end{equation}から、
\begin{equation}
\log 3 \approx 0.475
\end{equation}と求めました。
\begin{equation}
2\times 3^{100} \approx 1.030755 \times 10^{48}
\end{equation}の両辺の常用対数を取ると、
\begin{equation}
\log 2+100 \log 3 \approx 48.0
\end{equation}となります。これより、
\begin{equation}
\log 3 \approx 0.477
\end{equation}が得られます。
ちなみに、
\begin{eqnarray}
\log 1.07 & \approx & 0.0293837777 \\
\log 1.03 & \approx & 0.0128372247
\end{eqnarray}
なので、近似計算は問題ないと主張します。
