対数のご利益 - 数式で独楽する

本稿では、

対数を用いると計算がラクになる

ということを見ていきます。

つまり、

掛け算は足し算になる

割り算は引き算になる

指数は定数倍になる

ということを見ていきます。

対数の基本

まず、対数の基本をおさらいしておきましょう。
\begin{equation}
a^x=X \ \Longleftrightarrow \ x=\log_a X
\end{equation}のとき、Xを「真数」といいます。
小文字のxは「指数」、aは「底」です。
真数は $X>0$ で、底は $a>0, \ a \neq 1$ です。

掛け算は足し算になる

\begin{eqnarray}
a^x &=& X \ & \Longleftrightarrow & \ x &=& \log_a X \\
a^y &=& Y \ & \Longleftrightarrow & \ y &=& \log_a Y
\end{eqnarray}
において、辺々掛け算します。
\begin{equation}
a^x \cdot a^y = a^{x+y} = XY \ \Longleftrightarrow \ x+y =\log_a XY
\end{equation}
つまり、
\begin{equation}
\log_a XY = \log_a X + \log_a Y
\end{equation}
となります。
対数で、掛け算が足し算になりました。

割り算は引き算になる

同様に、辺々割り算します。
\begin{equation}
\frac{a^x}{a^y} = a^{x-y} = \frac{X}{Y} \ \Longleftrightarrow \ x-y =\log_a \frac{X}{Y}
\end{equation}
つまり、
\begin{equation}
\log_a \frac{X}{Y} = \log_a X - \log_a Y
\end{equation}
となります。
対数で、割り算が引き算になりました。

指数は定数倍になる

\begin{equation}
a^x=X \ \Longleftrightarrow \ x=\log_a X
\end{equation}において、両辺を $k$ 乗します。
\begin{equation}
(a^x)^k = a^{kx} = X^k \ \Longleftrightarrow \ kx=\log_a X^k
\end{equation}
つまり、
\begin{equation}
\log_a X^k=k \log_a X
\end{equation}
となります。
対数で、指数が定数倍になりました。