数式で独楽する

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内心の存在の証明

三角形の各角の二等分線は1点Iで交わる。
(内心の存在)
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角の二等分線は、角をなす2直線からの距離が等しくなる点の集合です。
見方を変えると、
角の二等分線上では、角に内接する円を描くことができます。

冒頭で、
三角形の各角の二等分線は1点Iで交わる
と述べましたが、
二等分線が交わった点では、3辺全てに接する円、
すなわち三角形に内接する円を描くことができます。
この内接円の中心を、「内心」といいます。

3本の角の二等分線が1点で交わることは、チェバの定理の逆で証明できます。

では、証明にいきます。
角A, B, Cの二等分線が対辺BC, CA, ABと交わる点をそれぞれP, Q, Rとします。
角の二等分線は対辺を残りの2辺の比に分割するので、
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} &=& \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CA}} \\
\frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}} &=& \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} \\
\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}} &=& \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{BC}}
\end{eqnarray}
です。
三角形の角の二等分線による対辺の分割 - 数式で独楽する


これより、
\begin{eqnarray}
\frac{\mathrm{BP}}{\mathrm{PC}} \frac{\mathrm{C Q}}{\mathrm{QA}}\frac{\mathrm{AR}}{\mathrm{RB}}
&=& \frac{\mathrm{AB}}{\mathrm{CA}} \frac{\mathrm{BC}}{\mathrm{AB}} \frac{\mathrm{CA}}{\mathrm{BC}} \\
&=& 1
\end{eqnarray}
となります。
チェバの定理の逆により、
3本の角の二等分線AP, BQ, CRは1点Iで交わります。