数式で独楽する

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テイラーの定理

テイラー(Taylor)の定理
ある区間において f(x) n微分可能であるとする。
この区間において aを定数、 xを任意の数とするとき、

\begin{equation}
f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!}(x - a)^{n - 1} + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x - a)^n \qquad (cはaとxの間の数)
\end{equation}を満たす cが存在する。

テイラーの定理は、 n微分可能な関数は n次の多項式で近似することができるというものです。

まず、次の補題を証明します。

補題
 f(x), f'(x), f''(x), \cdots , f^{(n - 1)}(x)区間 [a, b ]で連続、区間 (a, b) f^{(n)}(x)が存在するとき、
\begin{equation}
f(b) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(b - a) + \frac{f''(a)}{2!}(b - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!}(b - a)^{n - 1} + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(b - a)^n \tag{1}
\end{equation}を満たす c \in (a,b)が存在する。

次に、
\begin{equation}
f(b) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(b - a) + \frac{f''(a)}{2!}(b - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!}(b - a)^{n - 1} + \frac{k}{n!}(b - a)^n \tag{2}
\end{equation}とおき、関数 F(x)
\begin{equation}
F(x) = f(b) - \left \{ f(x) + \frac{f'(x)}{1!}(b - x) + \frac{f''(x)}{2!}(b - x)^2 + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(x)}{(n - 1)!}(b - x)^{n - 1} + \frac{k}{n!}(b - x)^n \right \} \tag{3}
\end{equation}を考えます。

式(3)を微分すると、
\begin{eqnarray}
F'(x) &=& - \left \{ f'(x) - \left( \frac{f'(x)}{1!} - \frac{f''(x)}{1!}(b - x) \right) - \left( \frac{f''(x)}{1!}(b - x) - \frac{f'''(x)}{2!}(b - x)^2 \right) - \cdots - \left( \frac{f^{(n - 1)}(x)}{(n - 2)!}(b - x)^{n - 2} - \frac{f^{(n)}(x)}{(n - 1)!}(b - x)^{n - 1} \right) + \frac{k}{(n - 1)!}(b - x)^{n - 1} \right \}\\
&=& - \frac{f^{(n)}(x)}{(n - 1)!}(b - x)^{n - 1} + \frac{k}{(n - 1)!}(b - x)^{n - 1}
\end{eqnarray}
となります。
式が長くなりました。
式(3)の第2項以降の微分が、積の微分になっています。
微分すると、或る項の微分の後半部分が、次の項の微分の前半部分と相殺されます。
結果、残るのは最後の2項となります。
改めて書くと、次の通りです。
\begin{equation}F'(x) = - \frac{f^{(n)}(x)}{(n - 1)!}(b - x)^{n - 1} + \frac{k}{(n - 1)!}(b - x)^{n - 1} \tag{4}
\end{equation}

さて、式(2)により、
\begin{eqnarray}
F(a) &=& f(b) - \left \{ f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(b - a) + \frac{f''(a)}{2!}(b - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!}(b - a)^{n - 1} + \frac{k}{n!}(b - a)^n \right \} \\
&=& 0 \tag{5}
\end{eqnarray}
です。

また、式(3)より、
\begin{equation}
F(b) = f(b) - f(b) = 0 \tag{6}
\end{equation}です。

式(5), (6)とロルの定理により、
\begin{equation}
F'(c) = 0
\end{equation}を満たす c \in (a,b)が存在します。
ロルの定理 - 数式で独楽する

したがって、式(4)により、
\begin{equation}
- \frac{f^{(n)}(c)}{(n - 1)!}(b - c)^{n - 1} + \frac{k}{(n - 1)!}(b - c)^{n - 1} = 0 \tag{7}
\end{equation}を満たす c \in (a,b)が存在します。

なお、式(7)において b \ne cなので、
\begin{equation}
k = f^{(n)}(c) \tag{8}
\end{equation}となる c \in (a,b)が存在します。

式(8)を式(2)に代入すると、式(1)が得られます。
よって、先の補題は証明されます。
以上、 a < bとしましたが、 a > bとしても同様です。

補題の式(1)において b=xとおけば、
\begin{equation}
f(x) = f(a) + \frac{f'(a)}{1!}(x - a) + \frac{f''(a)}{2!}(x - a)^2 + \cdots + \frac{f^{(n - 1)}(a)}{(n - 1)!}(x - a)^{n - 1} + \frac{f^{(n)}(c)}{n!}(x - a)^n \qquad (cはaとxの間の数)
\end{equation}を満たす cが存在することが得られます。