本稿では、の連分数表記について見ていきます。
まず、次の式をご覧ください。
\begin{eqnarray}
\sqrt{2} - 1 &=& \frac{\left(\sqrt{2} - 1 \right) \left(\sqrt{2} + 1 \right)}{\sqrt{2} + 1} \\
&=& \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \tag{1}
\end{eqnarray}
中学のとき、分母に無理数が来たときは有利化しなさいと習いましたが、ここではその逆を行っています。
式(1)の両辺に2を加えると、
\begin{equation}
1 + \sqrt{2} = 2 + \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \tag{2}
\end{equation}となります。
ここで、式(2)の右辺に現れたに、式(2)を代入します。
式(2)に式(2)を代入する、ということをやります。
こういうのを「再帰的」といいます。
\begin{eqnarray}
1+ \sqrt{2} &=& 2+ \frac{1}{1 + \sqrt{2}} \\
&=& 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \sqrt{2}}} \tag{3}
\end{eqnarray}
式(3)の右辺のに、さらに式(2)を代入します。
\begin{equation}
1+ \sqrt{2} = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+ \cfrac{1}{1 + \sqrt{2}}}}
\end{equation}
この操作を繰り返していくと、次のようになります。
\begin{equation}
1+ \sqrt{2} = 2 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+ \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}
\end{equation}
省スペースの書き方では、
\begin{equation}
1+ \sqrt{2} = [2;2,2,2,\cdots]
\end{equation}となります。2が綺麗に並びました。
以上のことから、の連分数表記は、
\begin{equation}
\sqrt{2} = 1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{2+ \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}
\end{equation}となります。
省スペースの書き方では、
\begin{equation}
\sqrt{2} = [1;2,2,2,\cdots]
\end{equation}となります。
また、循環小数のように、
\begin{equation}
\sqrt{2} = \left[ 1; \dot{2} \right]
\end{equation}と書きます。
別のアプローチがあります。
ルート2の連分数表記の別アプローチ - 数式で独楽する
