本稿では、の連分数表記について見ていきます。
まず、次の式をご覧ください。
\begin{eqnarray}
\sqrt{3} - 1 &=& \frac{\left(\sqrt{3} - 1 \right) \left(\sqrt{3} + 1 \right)}{\sqrt{3} + 1} \\
&=& \frac{2}{1 + \sqrt{3}} \tag{1}
\end{eqnarray}
式(1)の両辺に2を加えると、
\begin{equation}
1 + \sqrt{3} = 2 + \frac{2}{1 + \sqrt{3}} \tag{2}
\end{equation}となります。
ここで、式(2)の右辺に現れたに、式(2)を代入します。
\begin{eqnarray}
1+ \sqrt{3} &=& 2+ \frac{2}{1 + \sqrt{3}} \\
&=& 2 + \cfrac{2}{2 + \cfrac{2}{1 + \sqrt{3}}} \\
&=& 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \sqrt{3}}} \tag{3}
\end{eqnarray}
式(3)の右辺のに、さらに式(3)を代入します。
\begin{equation}
1 + \sqrt{3} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \sqrt{3}}}}}
\end{equation}さらにいきます。
\begin{equation}
1 + \sqrt{3} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \sqrt{3}}}}}}}
\end{equation}
この操作を繰り返していくと、次のようになります。
\begin{equation}
1 + \sqrt{3} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}
\end{equation}
省スペースの書き方では、
\begin{equation}
1+ \sqrt{3} = [2;1,2,1,2,\cdots]
\end{equation}となります。1と2が交互に並びました。
以上のことから、の連分数表記は、
\begin{equation}
\sqrt{3} = 1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \cfrac{1}{\ddots}}}}}
\end{equation}となります。
省スペースの書き方では、
\begin{equation}
\sqrt{3} = [1;1,2,1,2,\cdots]
\end{equation}となります。
また、循環小数のように、
\begin{equation}
\sqrt{3} = \left[ 1; \dot{1}, \dot{2} \right]
\end{equation}と書きます。
別のアプローチがあります。
ルート3の連分数表記の別アプローチ - 数式で独楽する
