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ルート7の連分数表記

本稿では、 \sqrt{7}の連分数表記について見ていきます。


まず、
\begin{equation}
\sqrt{7} - 2 = \frac{3}{\sqrt{7} + 2}
\end{equation}であることより、
\begin{equation}
2 + \sqrt{7} = 4 + \frac{3}{2 + \sqrt{7}}
\end{equation}ということが分かります。
したがって、これまでと同様にして、
\begin{equation}
2 + \sqrt{7} = 4 + \cfrac{3}{4 + \cfrac{3}{4 + \cfrac{3}{\ddots}}}
\end{equation}すなわち、
\begin{equation}
\sqrt{7} = 2 + \cfrac{3}{4 + \cfrac{3}{4 + \cfrac{3}{\ddots}}}
\end{equation}となることが分かります。

この表記は連分数になっていますが、正則連分数になっていません。
次に、正則連分数で表記することを考えてみます。

 \sqrt{7}に2を足して引きます。
\begin{equation}
\sqrt{7} = 2 + \sqrt{7} -2
\end{equation}
右辺について、有理化の逆を行います。
\begin{equation}
\sqrt{7} = 2 + \frac{3}{2 + \sqrt{7}} \tag{1}
\end{equation}
分子を無理やり1にします。
\begin{equation}
\sqrt{7} = 2 + \cfrac{1}{\ \cfrac{2 + \sqrt{7}}{3}\ }
\end{equation}
分母の整数部分を出します。
\begin{equation}
\sqrt{7} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{\sqrt{7} - 1}{3}}
\end{equation}

同じ手順を繰り返します。
再び、有理化の逆を行います。
\begin{eqnarray}
\sqrt{7} &=& 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{6}{3(1 + \sqrt{7})}} \\
&=& 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{2}{1 + \sqrt{7}}}
\end{eqnarray}
分子を無限やり1にします。
\begin{equation}
\sqrt{7} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ \cfrac{1 + \sqrt{7}}{2} \ }}
\end{equation}
分母の整数部分を出します。
\begin{equation}
\sqrt{7} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{\sqrt{7} - 1}{2}}}
\end{equation}

三度、有理化の逆を行います。
\begin{eqnarray}
\sqrt{7} &=& 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{6}{2(1 + \sqrt{7})}}} \\
&=& 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{3}{1 + \sqrt{7}}}}
\end{eqnarray}
分子を無限やり1にします。
\begin{equation}
\sqrt{7} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{\ \cfrac{1 + \sqrt{7}}{3}\ }}}
\end{equation}
分母の整数部分を出します。
\begin{equation}
\sqrt{7} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{\sqrt{7} - 2}{3}}}}
\end{equation}

四度、有理化の逆を行います。
\begin{eqnarray}
\sqrt{7} &=& 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{3}{3(2 + \sqrt{7})}}}} \\
&=& 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{2 + \sqrt{7}}}}}
\end{eqnarray}
分子は1になっているので、このまま分母の整数部分を出します。
\begin{equation}
\sqrt{7} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \sqrt{7} - 2}}}}
\end{equation}

五度、有理化の逆を行います。
\begin{equation}
\sqrt{7} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{3}{2 + \sqrt{7}} }}}} \tag{2}
\end{equation}
式(2)に、式(1)同じ \displaystyle \frac{3}{2 + \sqrt{7}}が現れました。
以降は、これまでと同じ手順を繰り返すことになります。
 \sqrt{7}は、
\begin{equation}
\sqrt{7} = 2 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{1 + \cfrac{1}{4 + \cfrac{1}{\ddots} }}}} }}}}
\end{equation}と表すことができます。
省スペースの表記では、
\begin{equation}
\sqrt{7} = [2;1,1,1,4,1,1,1,4,\cdots]
\end{equation}と表します。
循環小数のように
\begin{equation}
\sqrt{7} = \left[ 2; \dot{1},1,1, \dot{4} \right]
\end{equation}と表します。

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