数式で独楽する

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直線までの距離と定点までの距離の比が等しいの点の集合

先の記事
直線までの距離と定点までの距離が等しいの点の集合 - 数式で独楽する
で放物線は、

  • 直線までの距離と
  • 定点までの距離

が等しい点の集合

と述べました。


本稿では、両者の比を変えるとどうなるかを見ていきます。

焦点の座標をF(2f, 0)、準線の式をx=0、点PをP(x, y)、点Pから準線に下ろした垂線の足をH(0, y)として、点Pの集合を数式で表していきます。*1
まず、PFおよびPHの長さは次のようになります。
\begin{eqnarray}
\mathrm{PF} &=& \sqrt{(x -2f)^2 + y^2} \tag{1} \\
\mathrm{PH} &=& |x| \tag{2}
\end{eqnarray}
PF=e PHなので、式(1), (2)より、
\begin{equation}
e|x| = \sqrt{(x -2f)^2 + y^2} \tag{3}
\end{equation}です。
両辺を平方します。
\begin{equation}
e^2 x^2 = (x - f)^2 + y^2
\end{equation}展開します。
\begin{equation}
e^2 x^2 = x^2 - 4fx + 4f^2 + y^2
\end{equation}整理して、
\begin{equation}
(1 - e^2)x^2 - 4fx + 4f^2 + y^2 =0 \tag{4}
\end{equation}を得ます。

e=1の場合

式(4)で x^2の項が消え、
\begin{equation}
y^2 = 4f(x - f)
\end{equation}となります。
放物線の式が得られます。

0 < e < 1の場合

式(4)を変形していきます。
\begin{eqnarray}
(1 - e^2) \left( x - \frac{2f}{1 - e^2} \right)^2 + y^2 &=& \frac{4f^2}{1 - e^2} - 4f^2 = \frac{4e^2 f^2}{1 - e^2} \\
\left( x - \frac{2f}{1 - e^2} \right)^2 + \frac{y^2}{1- e^2} &=& \frac{4e^2 f^2}{(1 - e^2)^2} \\
\cfrac{\left( x - \cfrac{2f}{1 - e^2} \right)^2}{\cfrac{4e^2 f^2}{(1 - e^2)^2}} + \cfrac{y^2}{\ \cfrac{4e^2 f^2}{1 - e^2} \ } &=& 1
\end{eqnarray}となります。
楕円の式が得られます。

e < 1の場合

式(4)を変形していきます。
\begin{eqnarray}
(e^2 - 1) \left( x + \frac{2f}{e^2 - 1} \right)^2 - y^2 &=& \frac{4f^2}{e^2 - 1} + 4f^2 = \frac{4e^2 f^2}{e^2 - 1} \\
\left( x + \frac{2f}{e^2 - 1} \right)^2 - \frac{y^2}{e^2 - 1} &=& \frac{4e^2 f^2}{(e^2 - 1)^2} \\
\cfrac{\left( x + \cfrac{2f}{e^2 - 1} \right)^2}{\cfrac{4e^2 f^2}{(e^2 - 1)^2}} - \cfrac{y^2}{\ \cfrac{4e^2 f^2}{e^2 - 1} \ } &=& 1
\end{eqnarray}となります。
双曲線の式が得られます。

まとめ

以上のことを見える化します。
図では、焦点を原点(0, 0)、準線を x=-2としています。

まず、eが小さい場合です。
f:id:toy1972:20200119183957g:plain:w800
比eが非常に小さいと、ほぼ真円です。
ただe=0とすると、完全に潰れてしまいます。
比eを大きくしていくと、軌跡も大きくなりますが、だんだんと歪んでいきます。

さらにeを大きくしていきます。
f:id:toy1972:20200119184655g:plain:w800
楕円は大きくなりますが、ますます長くなります。
ついにe=1で端が切れて、放物線になります。
比eが1を超えると双曲線になります。
もっと大きくしていくと、漸近線が立っていくのが図から分かります。

この比eを「離心率」といいます。

このように、楕円、放物線、双曲線は、共通する概念で纏めることができます。

*1:計算を少しだけ簡単にするためにこのように定めています。式(3)の時点で、左辺はeを含みfを含まない、右辺はfを含みeを含まない形になっています。