を正の実数とする。座標空間において原点Oを中心とする半径1の球面上の4点A, B, C, Dが次の関係を満たしている。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} &=& \overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} &=& \frac{1}{2} \\
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& -\frac{\sqrt{6}}{4} \\
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} &=& \overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} &=& k
\end{eqnarray}
このとき、は、
と
の内積を表す。
設問を眺めてみても、エレガントな解法が考えつきません。
エレファントな解法というわけではありませんが、ゴリゴリと攻めていきます。
とは言え、できるだけ計算を減らす工夫は必要です。
そこで。
点C, Dが中心が原点O、半径が1の球面上にあることと、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{OC}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} = \frac{1}{2}
\end{equation}を踏まえ、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& (1,0,0) \\
\overrightarrow{\mathrm{OD}} &=& \left( \frac{1}{2}, \frac{\sqrt{3}}{2}, \, 0 \right)
\end{eqnarray}とします。
また、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} &=& (a_1, a_2, a_3) \\
\overrightarrow{\mathrm{OB}} &=& (b_1, b_2, b_3)
\end{eqnarray}とします。
与えられた条件より、以下の式が得られます。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}} &=& a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 = \frac{1}{2} \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& a_1 = -\frac{\sqrt{6}}{4} \tag{2} \\
\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& b_1 = - \frac{\sqrt{6}}{4} \tag{3} \\
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} &=& \frac{1}{2} \, a_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \, a_2 = k \tag{4} \\
\overrightarrow{\mathrm{OB}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OD}} &=& \frac{1}{2} \, b_1 + \frac{\sqrt{3}}{2} \, b_2 = k \tag{5}
\end{eqnarray}
式(2)~(5)より、
\begin{equation}
a_2 = b_2 =\frac{2}{\sqrt{3}} \left( k + \frac{\sqrt{6}}{8} \right) \tag{6}
\end{equation}を得ます。
点A, Bも中心が原点O、半径が1の球面上にあるので、
\begin{eqnarray}
|\overrightarrow{\mathrm{OA}}|^2 &=& {a_1}^2 + {a_2}^2 + {a_3}^2 \\
&=& \frac{3}{8} + \frac{4}{3} \left( k + \frac{\sqrt{6}}{3} \right)^2 + {a_3}^2 = 1 \tag{7} \\
|\overrightarrow{\mathrm{OB}}|^2 &=& {b_1}^2 + {b_2}^2 + {b_3}^2 \\
&=& \frac{3}{8} + \frac{4}{3} \left( k + \frac{\sqrt{6}}{3} \right)^2 + {b_3}^2 = 1 \tag{8}
\end{eqnarray}なる関係を得ます。
また式(1)より、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} \cdot \overrightarrow{\mathrm{OB}}
&=& a_1 b_1 + a_2 b_2 + a_3 b_3 \\
&=& \frac{3}{8} + \frac{4}{3} \left( k + \frac{\sqrt{6}}{3} \right)^2 + a_3 b_3 = \frac{1}{2} \tag{9}
\end{eqnarray}を得ます。
式(7), (8)より、
\begin{equation}
{a_3}^2 = {b_3}^2
\end{equation}です。点A, Bは異なる点なのでです。したがって、
\begin{equation}
a_3 = - b_3 \tag{10}
\end{equation}となります。
式(7), (9), (10)より、
\begin{equation}
\frac{3}{4} + \frac{8}{3} \left( k + \frac{\sqrt{6}}{8} \right)^2 = \frac{3}{2}
\end{equation}を得ます。整理していきます。
\begin{eqnarray}
\frac{8}{3} \left( k + \frac{\sqrt{6}}{8} \right)^2 &=& \frac{3}{4} \\
\left( k + \frac{\sqrt{6}}{8} \right)^2 &=& \frac{9}{32} \\
k + \frac{\sqrt{6}}{8} &=& \pm \frac{3}{4\sqrt{2}} \\
&=& \pm \frac{3\sqrt{2}}{8}
\end{eqnarray}
なので、
\begin{equation}
k = \frac{3\sqrt{2} - \sqrt{6}}{8}
\end{equation}を得ます。
おまけ
このとき、
\begin{equation}
\frac{3}{8} + \frac{4}{3} \left( \frac{3\sqrt{2}}{8} \right)^2 + {a_3}^2 = \frac{3}{8} + \frac{4}{3} \frac{18}{64} + {a_3}^2 = 1
\end{equation}なので
\begin{equation}
{a_3}^2 = \frac{1}{4}
\end{equation}です。これより、
\begin{equation}
a_3 = \pm \frac{1}{2}, \ b_3 = \mp \frac{1}{2}
\end{equation}となります。複号は同順です。
おまけ2
O, A, B, C, Dを図示するとこういう感じです。
