2変数の関数
について、
が存在し、連続であれば、
\begin{equation}
f_{xy} = f_{yx}
\end{equation}が成り立つ。
偏微分の順序は、実用上、多くの場合で交換可能というものです。
その条件も、対象の偏導関数が連続であればよいというものです。
平均値の定理を用いて証明します。
平均値の定理 - 数式で独楽する
平均値の定理の別の表現 - 数式で独楽する
まず、
\begin{equation}
F(h,k) = f(x_0+h, \, y_0+k) - f(x_0+h, \, y_0) - f(x_0, \, y_0+k) + f(x_0, \, y_0)
\end{equation}とします。
次に、
\begin{equation}
g(x) = f(x, \, y_0+k) - f(x, \, y_0)
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
F(h,k) = g(x_0+h) - g(x_0)
\end{equation}となります。
平均値の定理により、
\begin{equation}
g(x_0+h) - g(x_0) = h \, g'(x_0 + \theta h)
\end{equation}なるが存在します。
すなわち、
\begin{eqnarray}
F(h,k) &=& h \, g'(x_0 + \theta h) \\
&=& h \bigl \{ f_x(x_0 + \theta h, \, y_0 + k) - f_x(x_0 + \theta h, \, y_0) \bigr \}
\end{eqnarray}なる$0 < \theta < 1$が存在するということです。
さらに、変数について平均値の定理を用いると、
\begin{equation}
F(h,k) = hk \, f_{xy}(x_0 + \theta h, \, y_0 + \theta' k) \tag{1}
\end{equation}なるが存在します。
同様に、変数の順で平均値の定理を用いると、
\begin{eqnarray}
F(h,k) &=& k \bigl \{ f_y(x_0 + h, \, y_0 + \phi' k) - f_y(x_0, \, y_0 + \phi' k) \bigr \} \\
&=& hk \, f_{yx}(x_0 + \phi h, \, y_0 + \phi' k) \tag{2}
\end{eqnarray}なる$0 < \phi < 1, \ 0 < \phi' < 1$が存在します。
式(1), (2)は同じものなので、
\begin{equation}
hk \, f_{xy}(x_0 + \theta h, \, y_0 + \theta' k) = hk \, f_{yx}(x_0 + \phi h, \, y_0 + \phi' k)
\end{equation}となります。
両辺をで割って、
\begin{equation}
f_{xy}(x_0 + \theta h, \, y_0 + \theta' k) = f_{yx}(x_0 + \phi h, \, y_0 + \phi' k)
\end{equation}となります。
ここで、とすると、
\begin{equation}
f_{xy}(x_0, \, y_0) = f_{yx}(x_0, \, y_0)
\end{equation}を得ます。
