数式で独楽する

数式を使って楽しむブログです

[tex: ]

群馬大 ?年

\begin{equation}
z = \frac{\sqrt{3} - 1}{2} + \frac{\sqrt{3} + 1}{2} \, i
\end{equation}とする。 z^{12}を求めよ。

与えられた zの値から zのべき乗を求める問題です。
真正面から攻略するのは、煩雑極まりなく、愚策です。

\begin{equation}
\omega = \frac{-1 + \sqrt{3} \, i}{2}
\end{equation}とします。
\begin{equation}
-i \omega = \frac{\sqrt{3} + i}{2}
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
z &=& (1 - i)\omega \\
&=& 2^{1/2} \, e^{-\pi i/4} \omega
\end{eqnarray}と書くことができます。

\begin{equation}
\omega^3 = 1
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
z^{12} &=& 2^6 \, e^{-3 \pi i} \omega^{12} \\
&=& 2^6(-1)1^4 \\
&=& -64
\end{eqnarray}となります。

解説

 zの形から、
\begin{equation}
\omega^3 = 1
\end{equation}を満たす
\begin{equation}
\omega = \frac{-1 + \sqrt {3} \, i}{2}
\end{equation}が浮かびます。
 zはこの \omegaの定数倍になり、この定数を絶対値と偏角で表すと、非常に易しくなります。
あとはオイラーの等式
円周率、虚数単位、ネイピア数の関係 - 数式で独楽する
\begin{equation}
e^{\pi i} = -1
\end{equation}を用いると求めることができます。