鋭角三角形ABCを考え、その面積を
とする。
をみたす実数
に対し、線分ACを
に内分する点をQ、線分BQを
に内分する点をPとする。実数
やり方はいろいろあると思います。
頭の中に降りて来たやり方は、次の通りです。
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{BA}} &=& \vec{a} \\
\overrightarrow{\mathrm{BC}} &=& \vec{c}
\end{eqnarray}とすると、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{BQ}} = (1 - t) \, \vec{a} + t \, \vec{c}
\end{equation}となります。*1
また、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& t \, \overrightarrow{\mathrm{BQ}} \\
&=& t(1 - t) \, \vec{a} + t^2 \, \vec{c}
\end{eqnarray}となります。
点Bを平面上の原点(0,0)に置き、次の線型写像
を考えます。*2
\begin{eqnarray}
f: \mathrm{C} & \to & (1,0) \\
f: \mathrm{A} & \to & (0,1)
\end{eqnarray}
この写像により、点Pは
\begin{equation}
f : \mathrm{P} \to \mathrm{P'} (t^2, \, t(1- t))
\end{equation}に変換されます。
また、により、△ABCは底辺1で高さ1の直角三角形に、面積
は
に変換されます。
求める面積をとし、
により
に変換されるとします。
は点P'の軌跡と
軸に囲まれる部分の面積となります。
\begin{eqnarray}
x &=& t^2 \\
y &=& t - t^2 \\
dx &=& 2t \\
x(0) &=& 0 \\
x(1) &=& 1 \\
y(0) &=& 0 \\
y(1) &=& 0
\end{eqnarray}とは
で単調増加であることを踏まえると、
平面上の積分区間は
は
に変換されます。
置換積分 - 数式で独楽する
したがって、
\begin{eqnarray}
T' &=& \int_0^1 y \, dx \\
&=& \int_0^1 (t - t^2) \, 2t \, dt \\
&=& \left[ \ \frac{2}{3} \, t^3 - \frac{1}{2} \, t^4 \ \right]_0^1 \\
&=& \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \\
&=& \frac{1}{6}
\end{eqnarray}を得ます。
写像による変換の前後で面積の比は変わらないので、
\begin{equation}
\frac{T}{S} = \frac{T'}{S'} = \cfrac{\ \cfrac{1}{6} \ }{\cfrac{1}{2}} = \frac{1}{3}
\end{equation}が成り立ちます。
よって、
\begin{equation}
T = \frac{1}{3} \, S
\end{equation}を得ます。
