数式で独楽する

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京大 2019年 前期 理系 第3問

鋭角三角形ABCを考え、その面積を$S$とする。$0 < t < 1$をみたす実数$t$に対し、線分ACを$t : 1 -t$に内分する点をQ、線分BQを$t : 1 - t$に内分する点をPとする。実数$t$がこの範囲を動くときに点Pが描く曲線と 、線分BCによって囲まれる部分の面積を、$S$を用いて表せ。

やり方はいろいろあると思います。
頭の中に降りて来たやり方は、次の通りです。

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{BA}} &=& \vec{a} \\
\overrightarrow{\mathrm{BC}} &=& \vec{c}
\end{eqnarray}とすると、
$$\overrightarrow{\mathrm{BQ}} = (1 - t) \, \vec{a} + t \, \vec{c}
$$となります。*1
また、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{BP}} &=& t \, \overrightarrow{\mathrm{BQ}} \\
&=& t(1 - t) \, \vec{a} + t^2 \, \vec{c}
\end{eqnarray}となります。

点Bを$(x,y)$平面上の原点(0,0)に置き、次の線型写像$f$を考えます。*2
\begin{eqnarray}
f: \mathrm{C} & \to & (1,0) \\
f: \mathrm{A} & \to & (0,1)
\end{eqnarray}
この写像により、点Pは
$$f : \mathrm{P} \to \mathrm{P'} (t^2, \, t(1- t))
$$に変換されます。

また、$f$により、△ABCは底辺1で高さ1の直角三角形に、面積$S$は$S' = \displaystyle \frac{1}{2}$に変換されます。
求める面積を$T$とし、$f$により$T'$に変換されるとします。
$T'$は点P'の軌跡と$x$軸に囲まれる部分の面積となります。
f:id:toy1972:20200428084836p:plain:w400
\begin{eqnarray}
x &=& t^2 \\
y &=& t - t^2 \\
dx &=& 2t \\
x(0) &=& 0 \\
x(1) &=& 1 \\
y(0) &=& 0 \\
y(1) &=& 0
\end{eqnarray}と$x$は$0 < t < 1$で単調増加であることを踏まえると、$xy$平面上の積分区間は$0 < x< 1$は$0 < t < 1$に変換されます。
置換積分 - 数式で独楽する

したがって、
\begin{eqnarray}
T' &=& \int_0^1 y \, dx \\
&=& \int_0^1 (t - t^2) \, 2t \, dt \\
&=& \left[ \ \frac{2}{3} \, t^3 - \frac{1}{2} \, t^4 \ \right]_0^1 \\
&=& \frac{2}{3} - \frac{1}{2} \\
&=& \frac{1}{6}
\end{eqnarray}を得ます。

写像$f$による変換の前後で面積の比は変わらないので、
$$\frac{T}{S} = \frac{T'}{S'} = \cfrac{\ \cfrac{1}{6} \ }{\cfrac{1}{2}} = \frac{1}{3}
$$が成り立ちます。

よって、
$$T = \frac{1}{3} \, S
$$を得ます。

*1:\begin{eqnarray} \overrightarrow{\mathrm{BQ}} &=& \overrightarrow{\mathrm{BA}} + t \, \overrightarrow{\mathrm{CA}} \\ &=& \vec{a} + t \, (\vec{c} - \vec{a}) \end{eqnarray}です。

*2:点Pの軌跡と辺BCに囲まれる部分の面積を出すので、辺BCを$x$軸に移します。