スカラー$u$のラプラシアンを3次元の円柱座標系$(r, \theta, z)$で表すと、次のようになります。
勾配の発散 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
x &=& r \cos \theta \\
y &=& r \sin \theta
\end{eqnarray}のとき、
\begin{eqnarray}
\nabla^2 u &=& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\
&=& \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
\end{eqnarray}
3次元の円柱座標系のラプラシアンは、2次元極座標(円座標)のものを用いて求めることができます。
$z$が一定であれば、2次元極座標のラプラシアンそのものです。
\begin{equation}
\frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} =
\frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2}
\end{equation}
この両辺に$u_{zz}$を加えると、円柱座標系のラプラシアンが得られます。
\begin{eqnarray}
\nabla^2 u &=& \frac{\partial^2 u}{\partial x^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial y^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}\\
&=& \frac{\partial^2 u}{\partial r^2} + \frac{1}{r} \frac{\partial u}{\partial r} + \frac{1}{r^2} \frac{\partial^2 u}{\partial \theta^2} + \frac{\partial^2 u}{\partial z^2}
\end{eqnarray}
