京大 2019年前期理系第4問 - 数式で独楽する

1つのさいころを $n$ 回投げ、出た目を順に $X_1, X_2, \cdots , X_n$ とする。このとき次の条件をみたす確率を $n$ を用いて表せ。ただし $X_0=0$ としておく。
条件：
$1 \leqq k \leqq n$ をみたす $k$ のうち、 $X_{k - 1} \leqq 4$ かつ $X_k \geqq 5$ が成立するような $k$ の値はただ1つである。

この手の問題は、「条件」を丁寧に読み取り、数式に表すことができるかどうかにあります。
提示された条件では、

$k -1$ 回目までの出目は全て1~4である。
$k$ 回目の出目は5か6である。
$k + 1$ 回目以降の出目で1~4となれば、その後、5も6も出ない。

ということです。
上記の1, 2項はすぐ分かりますが、条件を満たすのは3項の場合も「あり」なのです。1~4が5~6に変わるのが2度と起こらなければよく、一旦5~6が出た後に1~4が出ただけでは条件に反してはいないのです。

ということを踏まえ、解答していきます。

条件を満たすのは、

$k - 1$ 回目までの出目は全て1~4である
$k$ 回目は必ず5~6であり、その後は何回か続く
最後の $l$ 回( $0 \leqq l \leqq n - k$ )は、出目が1~4である

場合です。*1
この確率を $P(k,l)$ とすると、
\begin{equation}
P(k,l) = \left( \frac{2}{3} \right)^{k - 1} \left( \frac{1}{3} \right)^{n - k - l + 1} \left( \frac{2}{3} \right)^l
\end{equation}となります。

求める確率 $P$ は、全ての $k,l$ に対して $P(k,l)$ を求めて合算すれば求めることができます。
すなわち、
\begin{eqnarray}
P &=& \sum_{k=1}^n \sum_{l=0}^{n - k} P(k,l) \\
&=& \sum_{k=1}^n \sum_{l=0}^{n - k} \left( \frac{2}{3} \right)^{k - 1} \left( \frac{1}{3} \right)^{n - k - l + 1} \left( \frac{2}{3} \right)^l \\
&=& \frac{1}{3^n} \sum_{k=1}^n \left \{ 2^{k - 1} \, \left( \sum_{l=0}^{n - k} 2^l \right) \right \} \\
&=& \frac{1}{3^n} \sum_{k=1}^n 2^{k - 1} \left( \frac{2^{n - k + 1} -1}{2 - 1} \right) \\
&=& \frac{1}{3^n} \sum_{k=1}^n \left( 2^n - 2^{k - 1} \right) \\
&=& \frac{1}{3^n} \left( 2^n n - \frac{2^n -1}{2 - 1} \right) \\
&=& \frac{2^n (n -1) + 1}{3^n}
\end{eqnarray}を得ます。*2 *3 *4 *5 *6