\begin{eqnarray}
\exp x &:=& 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
&=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\end{eqnarray}
で定義する関数について考えます。
指数関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
では指数関数を級数に展開しましたが、級数で関数を定義すると指数関数と同じものになるのかどうかを見ていきます。
本稿では、関数の微分を考えます。
べき乗の微分は
べき乗の微分 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \, x^n = n \, x^{n -1}
\end{equation}なので、
\begin{eqnarray}
\frac{d}{dx} \, \frac{x^n}{n!} &=& \frac{n \, x^{n -1}}{n!} \\
&=& \frac{x^{n -1}}{(n -1)!}
\end{eqnarray}となります。
定数を微分すると0です。
つまり、
\begin{equation}
\exp x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\end{equation}を微分すると、初項が消滅し、他の各項は1つずつ前に出て来ます。
項は無限にあるので、微分しても
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \, \exp x = 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots
\end{equation}となります。
まとめると、
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \, \exp x = \exp x
\end{equation}を得ます。
つまり、
\begin{eqnarray}
\exp x &:=& 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
&=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\end{eqnarray}
で定義する関数は、
私たちの知る指数関数の性質を持っていることが分かります。