\begin{eqnarray}
\exp x &:=& 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
&=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\end{eqnarray}
で定義する関数について考えます。
指数関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
では指数関数を級数に展開しましたが、級数で関数を定義すると指数関数と同じものになるのかどうかを見ていきます。
本稿では、引数に定数倍を入れるとどうなるかを考えます。
また、引数の和を入れるとどうなるかの別のアプローチを併せて考えます。
まず、逆関数
\begin{equation}
\log x := \exp^{-1} x
\end{equation}を定義します。
これより、
\begin{equation}
(\log x)' = \frac{1}{x}
\end{equation}を導けます。
逆関数の微分 - 数式で独楽する
また、
\begin{eqnarray}
\exp 0 &=& 1 \\
\Leftrightarrow \quad 0 &=& \log 1
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\log x = \int_1^x \frac{dt}{t}
\end{equation}となることが分かります。
これより、
\begin{eqnarray}
\log xy &=& \log x + \log y \\
\log x^a &=& a \log x
\end{eqnarray}を導けます。
∫dt/tの性質 その2 積を和に変換 - 数式で独楽する
∫dt/tの性質 その3 べき乗を定数倍に変換 - 数式で独楽する
したがって、
\begin{eqnarray}
\exp (x + y) &=& \exp x \cdot \exp y \\
\exp ax &=& (\exp x)^a
\end{eqnarray}を得ます。
つまり、
\begin{eqnarray}
\exp x &:=& 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
&=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\end{eqnarray}
で定義する関数は、
和を引数に入れると積を返し、
定数倍を引数に入れるとべき乗を返します。
私たちのよく知る指数関数の性質と同じです。
回り道をしましたが、こちらの方が簡単です。
ここまで来ると、
\begin{equation}
\lim_{x \to \infty} \left( 1 + \frac{1}{x} \right)^x = e
\end{equation}を導くのは
∫dt/tの性質 まとめ - 数式で独楽する
∫dt/tの性質 その6 関連する極限 - 数式で独楽する
と同様です。
