Σx^n/n! の性質その4 虚数の引数が意味するもの

\begin{eqnarray}
\exp x &:=& 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
&=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\end{eqnarray}
で定義する関数 $\exp x$ について考えます。

指数関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
では指数関数を級数に展開しましたが、級数で関数を定義すると指数関数と同じものになるのかどうかを見ていきます。

本稿では、引数に虚数を入れるとどうなるかを考えます。
定義に従って、引数に$ix$を入れてみます。
\begin{eqnarray}
\exp ix &=& 1+ ix - \frac{x^2}{2!} - i\frac{x^3}{3!} + \frac{x^4}{4!} + i\frac{x^5}{5!} + \cdots \\
&=& \left( 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \right) +i \left( x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} -\cdots \right) \tag{1}
\end{eqnarray}

ここで、次の関数を定義します。
\begin{eqnarray}
\cos x &:=& \sum_{n=0}^\infty (-1)^n \frac{x^{2n}}{(2n)!} \\
&=& 1 - \frac{x^2}{2!} + \frac{x^4}{4!} - \cdots \tag{2} \\
\sin x &:=& \sum_{n=0}^\infty (-1)^{n}\frac{x^{2n+1}}{(2n+1)!} \\
&=& x - \frac{x^3}{3!} + \frac{x^5}{5!} - \cdots \tag{3}
\end{eqnarray}

正弦関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
 余弦関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
とは逆のアプローチです。

式(2), (3)を式(1)に代入すると、
\begin{equation}
\exp ix = \cos x + i \sin x \tag{4}
\end{equation}が得られます。オイラーの公式と同じ形です。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する

式(4)の絶対値を求めます。
\begin{eqnarray}
|\exp ix|^2 &=& (\cos x + i \sin x)(\cos x - i \sin x) \\
&=& \cos^2 x + \sin^2 x \tag{5}
\end{eqnarray}ですが、まだ式(5)の値を1とすることはできません。

一方、
\begin{eqnarray}
|\exp ix|^2 &=& \exp ix \cdot \exp (-ix) \\
&=& \exp 0 \\
&=& 1 \tag{6}
\end{eqnarray}です。

式(5), (6)より、
\begin{equation}
\cos^2 x + \sin^2 x =1 \tag{7}
\end{equation}を得ます。

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