\begin{eqnarray}
\exp x &:=& 1 + \frac{x}{1!} + \frac{x^2}{2!} + \frac{x^3}{3!} + \cdots \\
&=& \sum_{n=0}^\infty \frac{x^n}{n!}
\end{eqnarray}
で定義する関数について考えます。
指数関数のマクローリン展開 - 数式で独楽する
では指数関数を級数に展開しましたが、級数で関数を定義すると指数関数と同じものになるのかどうかを見ていきます。
微分
\begin{equation}
\frac{d}{dx} \, \exp x = \exp x
\end{equation}
Σx^n/n! の性質 その1 微分 - 数式で独楽する
引数の和
\begin{equation}
\exp (x+y) = \exp x \cdot \exp y
\end{equation}
Σx^n/n! の性質 その2 引数の和 - 数式で独楽する
Σx^n/n! の性質 その3 引数の和と定数倍 - 数式で独楽する
引数の定数倍
\begin{equation}
\exp ax = (\exp x)^a
\end{equation}
Σx^n/n! の性質 その3 引数の和と定数倍 - 数式で独楽する
虚数の引数
\begin{equation}
\exp ix = \cos x + i \sin x
\end{equation}
Σx^n/n! の性質 その4 虚数の引数が意味するもの - 数式で独楽する
