本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$の速度と加速度について述べます。
極座標 - 数式で独楽する
球座標系における位置ベクトル
球座標系における位置ベクトルの表記は、
\begin{equation}
\boldsymbol{r} = r \, \boldsymbol{e}_r \tag{2}
\end{equation}です。
単位ベクトルについては
3次元円柱座標系の単位ベクトル - 数式で独楽する
3次元円柱座標系の単位ベクトルの偏微分 - 数式で独楽する
を参照ください。
なお、単位ベクトル$\boldsymbol{e}_r$は$\theta, \phi$について変化することに注意してください。
球座標系における速度
まず、式(2)で表される位置ベクトルの全微分を考えます。
なお、単位ベクトルの偏微分を考慮します。
3次元円柱座標系の単位ベクトルの偏微分 - 数式で独楽する
\begin{eqnarray}
d \boldsymbol{r} &=& \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial r} \, dr + \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \theta} \, d \theta + \frac{\partial \boldsymbol{r}}{\partial \phi} \, d\phi \\
&=& \frac{\partial}{\partial r} \, (r \, \boldsymbol{e}_r) \, dr + \frac{\partial}{\partial \theta} \, (r \, \boldsymbol{e}_r) \, d\theta + \frac{\partial}{\partial \phi} (r \, \boldsymbol{e}_r) \, d \phi \\
&=& \left( \boldsymbol{e}_r + r \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial r} \right) dr + r \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial \theta} d\theta + r \, \frac{\partial \boldsymbol{e}_r}{\partial \phi} \, d\phi \\
&=& (\boldsymbol{e}_r + 0) dr + r \, \boldsymbol{e}_\theta \, d\theta + r \sin \theta \, \boldsymbol{e}_\phi \, d\phi \\
&=& dr \, \boldsymbol{e}_r + r \, d\theta \, \boldsymbol{e}_\theta + r \sin \theta \, d\phi \, \boldsymbol{e}_r
\end{eqnarray}
時間$t$で微分すると、速度が得られます。
\begin{equation}
\frac{d \boldsymbol{r}}{dt} = \frac{dr}{dt} \, \boldsymbol{e}_r + r \, \frac{d\theta}{dt} \, \boldsymbol{e}_\theta + r \sin \theta \, \frac{d\phi}{dt} \, \boldsymbol{e}_\phi \tag{3}
\end{equation}
