本稿では、
\begin{eqnarray}
x &=& r \sin \theta \cos \phi \\
y &=& r \sin \theta \sin \phi \\
z &=& r \cos \theta \tag{1}
\end{eqnarray}で表される3次元の球座標系$(r, \theta, \phi)$のベクトルについて述べます。
ベクトルAを
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{A} &=& A_x \, \boldsymbol{i} + A_y \, \boldsymbol{j} + A_z \, \boldsymbol{k} \\
&=& A_r \, \boldsymbol{e}_r + A_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta + A_\phi \, \boldsymbol{e}_\phi \tag{2}
\end{eqnarray}とします。
\begin{eqnarray}
A_\rho \, \boldsymbol{e}_\rho &=& A_x \, \boldsymbol{i} + A_y \, \boldsymbol{j} \\
&=& A_r \, \boldsymbol{e}_r + A_\theta \, \boldsymbol{e}_\theta
\end{eqnarray}とすれば、2次元極座標系のベクトルの導出結果を2回繰り返すと、3次元球座標系のベクトル変換を導くことができます。
2次元極座標系のベクトル - 数式で独楽する
球座標系を直交座標系に変換
z軸に直交する平面では、
\begin{eqnarray}
A_\rho &=& A_x \cos \phi + A_y \sin \phi \\
A_\phi &=& - A_x \sin \phi + A_y \cos \phi \tag{3.1}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
z軸に平行な平面では、
\begin{eqnarray}
A_r &=& A_z \cos \theta + A_\rho \sin \theta \\
A_\theta &=& - A_z \sin \theta + A_\rho \cos \theta \tag{3.2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(3.1), (3.2)より、球座標系のベクトル成分を直交座標系のベクトル成分に変換する式を導くことができます。
\begin{eqnarray}
A_r &=& A_x \sin \theta \cos \phi + A_y \sin \theta \sin \phi + A_z \cos \theta \\
A_\theta &=& A_x \cos \theta \cos \phi + A_y \cos \theta \sin \phi - A_z \sin \theta \\
A_\phi &=& - A_x \sin \phi + A_y \cos \phi \tag{3}
\end{eqnarray}
直交座標系を球座標系に変換
z軸に直交する平面では、
\begin{eqnarray}
A_x &=& A_\rho \cos \phi - A_\phi \sin \phi \\
A_y &=& A_\rho \sin \phi + A_\phi \cos \phi \tag{4.1}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
z軸に平行な平面では、
\begin{eqnarray}
A_z &=& A_r \cos \theta - A_\theta \sin \theta \\
A_\rho &=& A_r \sin \theta + A_\theta \cos \theta \tag{4.2}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
式(4.1), (4.2)より、直交座標系のベクトル成分を球座標系のベクトル成分に変換する式を導くことができます。
\begin{eqnarray}
A_x &=& A_r \sin \theta \cos \phi + A_\theta \cos \theta \cos \phi - A_\phi \sin \phi \\
A_y &=& A_r \sin \theta \sin \phi + A_\theta \cos \theta \sin \phi + A_\phi \cos \phi \\
A_z &=& A_r \cos \theta - A_\theta \sin \theta \tag{4}
\end{eqnarray}
