を自然数とする。
を
で割った余りを
とする。
は互いに素な整数であることを示せ。
整式$x^n$は、整式$Q(x)$を用いて
\begin{equation}
x^n = (x -k)(x -k -1)Q(x) + ax + b \tag{1}
\end{equation}と表すことができます。
これより、
\begin{eqnarray}
k^n &=& ak + b \tag{2} \\
(k +1)^n &=& a(k+1) + b \tag{3}
\end{eqnarray}を得ます。
ここから、
\begin{eqnarray}
a &=& (k+1)^n - k^n \tag{4} \\
b &=& k^n - ak \tag{5}
\end{eqnarray}となります。
$n,k$が自然数なので、$a,b$が整数であることが示されます。
$a.b$が約数$p(\ne 1)$を持つと仮定し、
\begin{eqnarray}
a &=& \alpha p \\
b &=& \beta p
\end{eqnarray}とすると、
\begin{eqnarray}
k^n &=& (\alpha k + \beta)p \\
(k+1)^n &=& \{ \alpha (k+1) + \beta \} p
\end{eqnarray}となります。
つまり、は共に$p$を約数に持つということです。
これより、も共に$p$を約数に持つことになります。
ところが、
\begin{eqnarray}
(k+1) -k =1
\end{eqnarray}は$p$を約数に持たないので、仮定が誤っていることになります。
よって、は互いに素な整数であることを示すことができました。(証明終わり*1 )
解説
本問は、$x^n$を式(1)の形に書くことが鍵になります。
これができると式(2), (3)は容易に導くことができ、$a,b$を式(4), (5)の形に書くことができます。
あとは、背理法(悖理法、帰謬法)で攻略することになります。
