双曲線上の点から焦点までの距離

双曲線上の点から焦点までの距離は、離心率を用いると簡潔な形で書くことができます。

双曲線の方程式
\begin{equation}
\frac{x^2}{d^2} - \frac{y^2}{f^2 - d^2} =1 \tag{1}
\end{equation}において、

• $f$ : 中心から焦点までの距離
• $2f$ : 2焦点間の距離
• $2d$ : 双曲線上の点から2焦点までの距離の差

です。2焦点の座標はF$(f,0)$、F'$(-f,0)$です。

離心率$e$と$d, f$の関係は
\begin{equation}
f=de \tag{2}
\end{equation}です。
双曲線の各要素の関係 - 数式で独楽する

式(2)を用いて式(1)を書き直すと、
\begin{equation}
\frac{x^2}{d^2} + \frac{y^2}{d^2 (1- e^2)} =1
\end{equation}です。

双曲線上の点をP$(x_0, y_0)$とすると、
\begin{equation}
\frac{{x_0}^2}{d^2} - \frac{{y_0}^2}{d^2 (e^2 -1)} =1
\end{equation}つまり
\begin{equation}
y_0 = (1 - e^2)(d^2 - {x_0}^2) \tag{3}
\end{equation}です。

式(1)~(3)を用いてPFの長さを求めます。
\begin{eqnarray}
\mathrm{PF}^2 &=& (x_0 - f)^2 + {y_0}^2 \\
&=& {x_0}^2 - 2 fx_0 + f^2 + (1 - e^2)(d^2 - {x_0}^2) \\
&=& {x_0}^2 - 2de x_0 + d^2 e^2 + d^2 - {x_0}^2 - d^2 e^2 + e^2 {x_0}^2 \\
&=& d^2 - 2de x_0 + e^2 {x_0}^2 \\
&=& (d- ex_0)^2
\end{eqnarray}PF > 0なので、
\begin{equation}
\mathrm{PF} = d -ex_0
\end{equation}を得ます。

もう一方の焦点についても同様に、
\begin{equation}
\mathrm{PF'} = d +ex_0
\end{equation}を得ます。

双曲線と楕円は焦点間の距離と曲線上の点と2焦点との距離の差または和を用いると同じ形になります。
なので、この辺りの式変形は同じになります。