二項分布からポアソン分布

「二項分布」とは、結果が成功か失敗となる試行を反復したときの、成功の回数の分布をいいます。

硬貨を反復して投げたときに表が出る回数
サイコロを反復して投げたときに1の目が出る回数

などは二項分布に従います。

1回の試行での成功の確率を $p$ 、反復の回数を $n$ としたとき、試行が $k\, (= 0,1,2,\cdots , n)$ 回成功する確率は、
\begin{equation}
P(X=k) = {}_n C_k \, p^k q^{n -k} = \frac{n!}{k! (n -k)!} \, p^k q^{n -k} \quad (p+q=1) \tag{1}
\end{equation}となります。
このとき、成功の回数となる確率変数 $X$ は二項分布 $B(n,p)$ に従う、といいます。

さて、二項分布で、
\begin{equation}
np = \lambda \ (一定) \tag{2}
\end{equation}として $n \to \infty$ とすると、ポアソン分布になります。
ポアソン分布 - 数式で独楽する

見ていきましょう。
式(2)を用いて式(1)を変形していきます。

\begin{eqnarray}
{}_n C_k \, p^k (1 -p)^{n -k}
&=& \frac{n!}{k! (n -k)!} \, p^k (1 -p)^{n -k} \\
&=& \frac{n(n -1) \cdots (n -k+1)}{k!} \, \left( \frac{\lambda}{n} \right)^k \left( 1 -\frac{\lambda}{n} \right)^{n -k} \\
&=& \frac{n}{n} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \cdots \left( 1 - \frac{k -1}{n} \right) \frac{\lambda^k}{k!} \, \left( 1 -\frac{\lambda}{n} \right)^n \left( 1 -\frac{\lambda}{n} \right)^{-k}
\end{eqnarray}
ここで $n \to \infty$ とすると、
\begin{eqnarray}
\frac{n}{n} \left( 1 - \frac{1}{n} \right) \cdots \left( 1 - \frac{k -1}{n} \right) & \to & 1 \\
\left( 1 -\frac{\lambda}{n} \right)^n = \left( 1 -\frac{\lambda}{n} \right)^{\displaystyle \scriptsize -\frac{n}{\lambda} \, (-\lambda)}
& \to & e^{-\lambda} \\
\left( 1 -\frac{\lambda}{n} \right)^{-k} & \to & 1
\end{eqnarray}となるので、
ネイピア数 - 数式で独楽する

\begin{equation}
\lim_{np = \lambda \\ n \to \infty}{}_n C_k \, p^k (1 -p)^{n -k} = \frac{\lambda^k}{k!} \, e^{-\lambda}
\end{equation}を得ます。