固有値・固有ベクトル

行列$A$で記述される一次変換について、
\begin{equation}
A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v} \tag{1}
\end{equation}となるような定数$\lambda$とベクトルが存在するとき、

• $\lambda$を「固有値」
• を「固有ベクトル」

といいます。

式(1)を変形すると、
\begin{equation}
(\lambda I - A) \boldsymbol{v} = \boldsymbol{0} \tag{2}
\end{equation}となります。

なお、$I$は単位行列で、
\begin{equation}
I = \left( \begin{array}{ccc} 1 && 0 \\ & \ddots & \\ 0 && 1 \end{array} \right)
\end{equation}であり*1、
\begin{equation}
AI = IA = A
\end{equation}を満たします。

式(2)が、なる解をもつ条件は、
\begin{equation}
\mathrm{det}(\lambda I - A) =0 \tag{3}
\end{equation}です。これを「固有方程式」、「特性方程式」といいます。

行列$A$が2×2行列
\begin{equation}
A = \left( \begin{array}{cc} a & b \\ c & d \end{array} \right)
\end{equation}の場合、
\begin{eqnarray}
\lambda I - A &=& \left( \begin{array}{cc} \lambda - a & b \\ c & \lambda - d \end{array} \right) \\
\mathrm{det} (\lambda I - A) &=& (\lambda - a)(\lambda - d) - bc \\
&=& \lambda^2 - (a+d) \lambda + ad - bc
\end{eqnarray}となります。固有方程式は、
\begin{equation}
\lambda^2 - (a+d) \lambda + ad - bc = 0
\end{equation}となります。

*1:対角成分が全て1、その他の成分は全て0です。