平面上の一次変換の不動直線の分類～固有値2つの場合

行列 $A$ で記述される一次変換について、
\begin{equation}
A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}
\end{equation}となるような定数 $\lambda$ とベクトル $\boldsymbol{v}$ が存在するとき、

$\lambda$ を「固有値」
$\boldsymbol{v}$ を「固有ベクトル」

といいます。

固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する
 固有ベクトルと一次変換 - 数式で独楽する

λ≠μの場合
λ=μの場合

本稿では、座標平面上の一次変換について、不動直線を分類していきます。
一次変換と不動直線 - 数式で独楽する

2×2行列 $A$ の固有値および固有ベクトルを
\begin{eqnarray}
A \boldsymbol{u} &=& \lambda \boldsymbol{u} \\
A \boldsymbol{v} &=& \mu \boldsymbol{v}
\end{eqnarray}とします。
固有値 $\lambda, \mu$ で分類していきます。なお、 $\lambda, \mu$ を入れ替えても同じです。

λ≠μの場合

λ≠0, λ≠1, μ≠0, μ≠1の場合

不動直線は、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x} &=& s \boldsymbol{u} \\
\boldsymbol{x} &=& t \boldsymbol{v}
\end{eqnarray}です。

λ≠0, μ=0の場合

不動直線は、
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = s \boldsymbol{u}
\end{equation}のみです。
平面上の全ての点は
\begin{equation}
A(p \boldsymbol{u} + q \boldsymbol{v}) = p \lambda \boldsymbol{u}
\end{equation}と変換され、唯一の不動直線に変換されます。

λ≠0, μ=1の場合

\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x} &=& s \boldsymbol{u} \\
\boldsymbol{x} &=& t \boldsymbol{v}
\end{eqnarray}は不動直線です。
平面上の全ての点は
\begin{equation}
A(p \boldsymbol{u} + q \boldsymbol{v}) = p \lambda \boldsymbol{u} + q \boldsymbol{v}
\end{equation}と変換されます。
したがって、不動直線は
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x} &=& s \boldsymbol{u} + q \boldsymbol{v} \quad (q \, : \, \mbox{定数}) \\
\boldsymbol{x} &=& t \boldsymbol{v}
\end{eqnarray}となります。