数式で独楽する

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平面上の一次変換の不動直線の分類~固有値1つの場合

行列 Aで記述される一次変換について、
\begin{equation}
A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}
\end{equation}となるような定数 \lambdaとベクトル \boldsymbol{v}が存在するとき、

といいます。

固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する
固有ベクトルと一次変換 - 数式で独楽する

本稿では、座標平面上の一次変換について、不動直線を分類していきます。

2×2行列 A固有値および固有ベクトル
\begin{eqnarray}
A \boldsymbol{u} &=& \lambda \boldsymbol{u} \\
A \boldsymbol{v} &=& \mu \boldsymbol{v}
\end{eqnarray}とします。
固有値 \lambda, \muで分類していきます。なお、 \lambda, \muを入れ替えても同じです。

λ=μの場合

\begin{eqnarray}
A \boldsymbol{u} &=& \lambda \boldsymbol{u} \\
A \boldsymbol{v} &=& \lambda \boldsymbol{v}
\end{eqnarray}となる一次独立なベクトルがあれば A=\lambda Iなので、 A=\lambda Iかどうかで分類します。

λ≠1の場合

A=λIの場合

\begin{equation}
A - \lambda I = O
\end{equation}は零行列です。
したがって、任意のベクトルが
\begin{equation}
(A - \lambda I) \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}
\end{equation}を満たします。

よって、原点を通る全ての直線が不動直線となります。

A≠λIの場合

\begin{equation}
A \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{u}
\end{equation}は成り立つので、1つの固有値に対し固有ベクトルは1つ定まります。
したがって、
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = s \boldsymbol{u}
\end{equation}は不動直線です。

ここで、2つ目のベクトルを
\begin{equation}
A \boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} + \lambda \boldsymbol{v}
\end{equation}となるように定めると、
\begin{equation}
(A - \lambda I)^2 \boldsymbol{v} = (A -\lambda I) \boldsymbol{u} =\boldsymbol{0}
\end{equation}が成り立ちます。
2つ目のベクトル \boldsymbol{v}固有ベクトルではなく、この方向に不動直線はありません。

以上より、不動直線は
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = s \boldsymbol{u}
\end{equation}のみとなります。

λ=1の場合

A=Iの場合

一次変換は恒等変換になります。

  • 平面上の全ての点は不動点
  • 平面上の全ての直線は不動直線

となります。

A≠Iの場合

 \lambda \ne 1の場合と同様、
\begin{equation}
A \boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}
\end{equation}は成り立つので、固有値1に対し固有ベクトルは1つ定まります。
したがって、
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = s \boldsymbol{u}
\end{equation}は不動直線です。

ここで、2つ目のベクトルを
\begin{equation}
A \boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}
\end{equation}となるように定めると、
\begin{equation}
(A - I)^2 \boldsymbol{v} = (A - I) \boldsymbol{u} =\boldsymbol{0}
\end{equation}が成り立ちます。
ベクトル \boldsymbol{v}固有ベクトルではありません。

さて、平面上の任意の点は
\begin{equation}
A(p \boldsymbol{u} + q \boldsymbol{v}) = (p+1) \boldsymbol{u} + q \boldsymbol{v}
\end{equation}のように移されます。
これは、

  •  \boldsymbol{v}方向の成分はそのまま
  •  \boldsymbol{u}方向にずれる

ことを意味します。
つまり、
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = s \boldsymbol{u} + q \boldsymbol{v} \quad (q \, : \, \mbox{定数})
\end{equation}は不動直線ということです。

λ=0の場合

$A=O$であり、平面上の全ての点は原点に移されます。

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