行列で記述される一次変換について、
\begin{equation}
A \boldsymbol{v} = \lambda \boldsymbol{v}
\end{equation}となるような定数とベクトルが存在するとき、
といいます。
固有値・固有ベクトル - 数式で独楽する
固有ベクトルと一次変換 - 数式で独楽する
本稿では、座標平面上の一次変換について、不動直線を分類していきます。
2×2行列の固有値および固有ベクトルを
\begin{eqnarray}
A \boldsymbol{u} &=& \lambda \boldsymbol{u} \\
A \boldsymbol{v} &=& \mu \boldsymbol{v}
\end{eqnarray}とします。
固有値で分類していきます。なお、を入れ替えても同じです。
λ=μの場合
\begin{eqnarray}
A \boldsymbol{u} &=& \lambda \boldsymbol{u} \\
A \boldsymbol{v} &=& \lambda \boldsymbol{v}
\end{eqnarray}となる一次独立なベクトルがあればなので、かどうかで分類します。
λ≠1の場合
A=λIの場合
\begin{equation}
A - \lambda I = O
\end{equation}は零行列です。
したがって、任意のベクトルが
\begin{equation}
(A - \lambda I) \boldsymbol{u} = \boldsymbol{0}
\end{equation}を満たします。
よって、原点を通る全ての直線が不動直線となります。
A≠λIの場合
\begin{equation}
A \boldsymbol{u} = \lambda \boldsymbol{u}
\end{equation}は成り立つので、1つの固有値に対し固有ベクトルは1つ定まります。
したがって、
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = s \boldsymbol{u}
\end{equation}は不動直線です。
ここで、2つ目のベクトルを
\begin{equation}
A \boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} + \lambda \boldsymbol{v}
\end{equation}となるように定めると、
\begin{equation}
(A - \lambda I)^2 \boldsymbol{v} = (A -\lambda I) \boldsymbol{u} =\boldsymbol{0}
\end{equation}が成り立ちます。
2つ目のベクトルは固有ベクトルではなく、この方向に不動直線はありません。
以上より、不動直線は
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = s \boldsymbol{u}
\end{equation}のみとなります。
λ=1の場合
A≠Iの場合
の場合と同様、
\begin{equation}
A \boldsymbol{u} = \boldsymbol{u}
\end{equation}は成り立つので、固有値1に対し固有ベクトルは1つ定まります。
したがって、
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = s \boldsymbol{u}
\end{equation}は不動直線です。
ここで、2つ目のベクトルを
\begin{equation}
A \boldsymbol{v} = \boldsymbol{u} + \boldsymbol{v}
\end{equation}となるように定めると、
\begin{equation}
(A - I)^2 \boldsymbol{v} = (A - I) \boldsymbol{u} =\boldsymbol{0}
\end{equation}が成り立ちます。
ベクトルは固有ベクトルではありません。
さて、平面上の任意の点は
\begin{equation}
A(p \boldsymbol{u} + q \boldsymbol{v}) = (p+1) \boldsymbol{u} + q \boldsymbol{v}
\end{equation}のように移されます。
これは、
- 方向の成分はそのまま
- 方向にずれる
ことを意味します。
つまり、
\begin{equation}
\boldsymbol{x} = s \boldsymbol{u} + q \boldsymbol{v} \quad (q \, : \, \mbox{定数})
\end{equation}は不動直線ということです。