2次形式

個の変数より、

1. 重複を許して適当に2個取り出して積をとり、
2. さらに適当に定数を乗じ、
3. 和をとったもの

を「2次形式」といいます。

数式で記述すると、
\begin{equation}
Q = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j \tag{1}
\end{equation}です。
この2次形式は、適当な条件の下、変数を適当な変換でにすることで、
\begin{equation}
Q = \lambda_1 {y_1}^2 + \lambda_2 {y_2}^2 + \cdots + \lambda_n {y_n}^2 \tag{2}
\end{equation}とすることができます。

みていきましょう。

2次形式
\begin{equation}
Q = \sum_{i=1}^n \sum_{j=1}^n a_{ij} x_i x_j \tag{1}
\end{equation}において、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x} &=& \left( \begin{array}{c} x_1 \\ \vdots \\ x_n \end{array} \right) \\
A&=& (a_{ij})
\end{eqnarray}なるベクトルと行列を定めると、式(1)は
\begin{equation}
Q = \boldsymbol{x}^t A \boldsymbol{x} \tag{3}
\end{equation}と書くことができます。
転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する

ここで、
\begin{eqnarray}
\boldsymbol{x} &=& P \boldsymbol{y} \tag{4} \\
\boldsymbol{y} &=& \left( \begin{array}{c} y_1 \\ \vdots \\ y_n \end{array} \right)
\end{eqnarray}となる行列$P$、ベクトル、新たな変数を定めます。
式(3)は、
\begin{equation}
Q = \boldsymbol{y}^t P^t AP \boldsymbol{y} \tag{5}
\end{equation}となります。
積の転置行列と随伴行列 - 数式で独楽する

式(1)の2次形式ですが、なので、
\begin{equation}
a_{ji} = a_{ij}
\end{equation}つまり
\begin{equation}
A^t = A
\end{equation}とすることができます。つまり、は対称行列です。
対称行列とエルミート行列 - 数式で独楽する

行列の固有値、固有ベクトルを
\begin{eqnarray}
A \boldsymbol{v}_k &=& \lambda_k \boldsymbol{v}_k \quad (i=k, \cdots, n) \\
\lambda_k & \ne & \lambda_l \quad (k \ne l)
\end{eqnarray}とします。つまり、相異なる固有値、固有ベクトルを組とれるものとします。
行列は対称行列なので、個の固有ベクトルは互いに直交します。
対称行列の固有ベクトル - 数式で独楽する

したがって、固有ベクトルを並べたものを行列
\begin{equation}
P = (\boldsymbol{v}_1 \ \ \cdots \ \boldsymbol{v}_n)
\end{equation}とすると、は直交行列となります。

この行列で、
\begin{equation}
P^t AP = \left( \begin{array}{ccc}
\lambda_1 && 0 \\
& \ddots & \\
0 && \lambda_n
\end{array} \right) \tag{6}
\end{equation}と対角化できます。
対称行列の対角化 - 数式で独楽する

よって、対称行列を対角化する行列で式(4)による変換を行うと、式(5), (6)より、
\begin{equation}
Q = \boldsymbol{y}^t P^t AP \boldsymbol{y}
= \boldsymbol{y}^t \left( \begin{array}{ccc}
\lambda_1 && 0 \\
& \ddots & \\
0 && \lambda_n
\end{array} \right) \boldsymbol{y}
\end{equation}つまり、
\begin{equation}
Q = \lambda_1 {y_1}^2 + \lambda_2 {y_2}^2 + \cdots + \lambda_n {y_n}^2 \tag{2}
\end{equation}とすることができます。