四面体OABCを考える。点D, E, F, G, H, Iはそれぞれ辺OA, AB, BC, CO, OB, AC上にあり、頂点ではないとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1)
と
が平行ならば、AE:EB=CF:FBであることを示せ。
(2) D, E, F, G, H, Iが正八面体の頂点となっているとき、これらの点はOABCの各辺の中点であり、OABCは正四面体であることを示せ。
小問(1)の解答例
四面体OABCについて、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} &=& \vec{a} \\
\overrightarrow{\mathrm{OB}} &=& \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& \vec{c}
\end{eqnarray}とします。
点D, E, F, G, H, Iについて、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OD}} &=& p \, \vec{a} \\
\overrightarrow{\mathrm{OH}} &=& q \, \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{OG}} &=& r \, \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{OE}} &=& s \, \vec{a} + (1 -s) \, \vec{b} \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{OF}} &=& t \, \vec{b} + (1 -t) \, \vec{c} \tag{2} \\
\overrightarrow{\mathrm{OI}} &=& u \, \vec{c} + (1 -u) \, \vec{a}
\end{eqnarray}とします。
これより、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{DG}} &=& -p \, \vec{a} + r \, \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{EF}} &=& -s \, \vec{a} + (s +t -1) \, \vec{b} + (1 -t) \, \vec{c}
\end{eqnarray}となります。
設問の条件より、
\begin{equation}
s +t -1 = 0 \tag{*}
\end{equation}を得ます。
したがって、式(2)は
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{OF}} = (1- s) \, \vec{b} + s \, \vec{c} \tag{3}
\end{equation}となります。
式(1)の意味するところは
\begin{equation}
\mathrm{AE} : \mathrm{EB} = s : 1- s \tag{4}
\end{equation}です。
一方、式(3)の意味するところは
\begin{equation}
\mathrm{CF} : \mathrm{FB} = s : 1- s \tag{5}
\end{equation}です。
よって、
\begin{equation}
\mathrm{AE} : \mathrm{EB} = \mathrm{CF} : \mathrm{FB}
\end{equation}を得ます。
小問(1)の解説
四面体の頂点をベクトルで表し、辺上の点をこれらのベクトルと適当な変数で表現すれば何とかなる問題です。表現するところの意味を把握しておくことが大事です。すると、式(4), (5)より目的の関係を得ることができます。
小問(1)の補足
ベクトルが一次独立であることと
より、式(*)を得ることができます。
式(*)から
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{EF}} &=& -s \, \vec{a} + s \, \vec{c} \\
&=& s \overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{EF}} \parallel \overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{equation}でもあります。
