京大2017年理系第2問その2 - 数式で独楽する

四面体OABCを考える。点D, E, F, G, H, Iはそれぞれ辺OA, AB, BC, CO, OB, AC上にあり、頂点ではないとする。このとき、次の問いに答えよ。
(1) $\overrightarrow{\mathrm{DG}}$ と $\overrightarrow{\mathrm{EF}}$ が平行ならば、AE:EB=CF:FBであることを示せ。
(2) D, E, F, G, H, Iが正八面体の頂点となっているとき、これらの点はOABCの各辺の中点であり、OABCは正四面体であることを示せ。

小問(1)の解答・抄
小問(2)の解答例
小問(2)の解説

f:id:toy1972:20210107231931p:plain:w300

小問(1)の解答・抄

京大2017年理系第2問 - 数式で独楽する
各点について、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OA}} &=& \vec{a} \\
\overrightarrow{\mathrm{OB}} &=& \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{OC}} &=& \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{OD}} &=& p \, \vec{a} \\
\overrightarrow{\mathrm{OH}} &=& q \, \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{OG}} &=& r \, \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{OE}} &=& s \, \vec{a} + (1 -s) \, \vec{b} \\
\overrightarrow{\mathrm{OF}} &=& t \, \vec{b} + (1 -t) \, \vec{c} \\
\overrightarrow{\mathrm{OI}} &=& u \, \vec{c} + (1 -u) \, \vec{a}
\end{eqnarray}とし、設問の条件 $\overrightarrow{\mathrm{DG}} \parallel \overrightarrow{\mathrm{EF}}$ から、
\begin{equation}
\mathrm{AE} : \mathrm{EB} = \mathrm{CF} : \mathrm{FB}
\end{equation}を得ました。
f:id:toy1972:20210108224732p:plain:w350

小問(2)の解答例

「DEFGHIが正八面体」であるということを手掛かりにして進めていきます。
まず、「向かい合う辺が平行である」ことから、小問(1)の結果を用います。

断面DEFGについて、 $\overrightarrow{\mathrm{DG}} \parallel \overrightarrow{\mathrm{EF}}$ より、
\begin{equation}
\mathrm{AE} : \mathrm{EB} = \mathrm{CF} : \mathrm{FB} \tag{1.1}
\end{equation}です。
同様に、
\begin{equation}
\mathrm{AD} : \mathrm{DO} = \mathrm{CG} : \mathrm{GO} \tag{1.2}
\end{equation}も成り立ちます。
式(1.1), (1.2)より、
\begin{equation}
\mathrm{DG} \parallel \mathrm{EF} \parallel \mathrm{AC} \tag{2.1}
\end{equation}を得ます。
また、 $\overrightarrow{\mathrm{DE}} \parallel \overrightarrow{\mathrm{GF}}$ より、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AD} : \mathrm{DO} &=& \mathrm{AE} : \mathrm{EB} \\
\mathrm{CG} : \mathrm{GO} &=& \mathrm{CF} : \mathrm{FB} \\
\mathrm{DE} \parallel \mathrm{GF} & \parallel & \mathrm{OB} \tag{2.2}
\end{eqnarray}を得ます。
式(2.1), (2.2)より、
\begin{eqnarray}
s + t &=& 1 \tag{3.1} \\
s + p &=& 1 \tag{3.2} \\
p = r &=& t \tag{3.3}
\end{eqnarray}となります。

他の断面DHFI, EHGIについても同様です。

断面DHFIについては、 $\overrightarrow{\mathrm{DH}} \parallel \overrightarrow{\mathrm{IF}}, \ \overrightarrow{\mathrm{DI}} \parallel \overrightarrow{\mathrm{HF}}$ より、
\begin{eqnarray}
\mathrm{AD} : \mathrm{DO} &=& \mathrm{BH} : \mathrm{HO} \\
\mathrm{AI} : \mathrm{IC} &=& \mathrm{BF} : \mathrm{FC} \\
\mathrm{DH} \parallel \mathrm{IF} & \parallel & \mathrm{AB} \tag{2.3} \\
\mathrm{AD} : \mathrm{DO} &=& \mathrm{AI} : \mathrm{IC} \\
\mathrm{BH} : \mathrm{HO} &=& \mathrm{BF} : \mathrm{FC} \\
\mathrm{DI} \parallel \mathrm{HF} & \parallel & \mathrm{OC} \tag{2.4} \\
q + t &=& 1 \tag{3.4} \\
t + u &=& 1 \tag{3.5} \\
p = q &=& u \tag{3.6}
\end{eqnarray}を得ます。

断面EHGIについては、 $\overrightarrow{\mathrm{EI}} \parallel \overrightarrow{\mathrm{HG}} , \ \overrightarrow{\mathrm{GI}} \parallel \overrightarrow{\mathrm{HF}}$ より、
\begin{eqnarray}
\mathrm{CI} : \mathrm{IA} &=& \mathrm{BE} : \mathrm{EA} \\
\mathrm{CG} : \mathrm{GO} &=& \mathrm{BH} : \mathrm{HO} \\
\mathrm{EI} \parallel \mathrm{HG} & \parallel & \mathrm{BC} \tag{2.5} \\
\mathrm{CI} : \mathrm{IA} &=& \mathrm{CG} : \mathrm{GO} \\
\mathrm{BE} : \mathrm{EA} &=& \mathrm{BH} : \mathrm{HO} \\
\mathrm{GI} \parallel \mathrm{HE} & \parallel & \mathrm{OA} \tag{2.6} \\
r + u &=& 1 \tag{3.7} \\
s + u &=& 1 \tag{3.8} \\
q = r &=& s \tag{3.9}
\end{eqnarray}を得ます。