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京大2017年 理系 第5問

  a \geqq 0とする。 0 \leqq x \leqq \sqrt{2}の範囲で曲線 y = x \, e^{-x}、直線 y =ax、直線 x=\sqrt{2}に囲まれた部分を S(a)とする。このとき S(a)の最小値を求めよ。
(ここで「囲まれた部分」とは、上の曲線または直線のうち2つ以上で囲まれた部分を意味するものとする。)

解答例

曲線 y=x \, e^{-x}について、
\begin{equation}
y' = e^{-x} -x \, e^{-x} = (1 -x) \, e^{-x}
\end{equation}なので、増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
x & 0 & \cdots & 1 & \cdots & \sqrt{2} \\ \hline
y' & 1 & + & 0 & - & \\ \hline
y & 0 & \nearrow & e^{-1} & \searrow & \sqrt{2} \, e^{-\sqrt{2}} \\ \hline
\end{array}
グラフにすると、次の通りです。直線 x=\sqrt{2} y=axの代表的なものを併せて描いています。
f:id:toy1972:20210202224229p:plain:w300

直線 y=axが曲線 y = x \, e^{-x} x=\sqrt{2}で交わる場合、
\begin{equation}
a = \frac{\sqrt{2} \, e^{-\sqrt{2}}}{\sqrt{2}} = e^{-\sqrt{2}}
\end{equation}です。
直線 y=axが曲線 y = x \, e^{-x}と原点で接する場合、
\begin{equation}
a=1
\end{equation}です。
したがって、場合分けは
\begin{equation}
a= e^{-\sqrt{2}}, 1
\end{equation}で発生します。

(i)  0 \leqq a \leqq e^{-\sqrt{2}}の場合
\begin{eqnarray}
S(a) &=& \int_0^\sqrt{2} (x \, e^{-x} -ax) dx \\
&=& \left[ -(x+1) \, e^{-x} -\frac{1}{2} \, ax^2 \right]_0^\sqrt{2} \\
&=& -(\sqrt{2} -1) \, e^{-\sqrt{2}} -a+1
\end{eqnarray}です。
この区間では、$S(a)$は単調減少です。

(ii)  a \geqq 1の場合
\begin{eqnarray}
S(a) &=& \int_0^\sqrt{2} (-x \, e^{-x} +ax) dx \\
&=& (\sqrt{2} -1) \, e^{-\sqrt{2}} +a -1
\end{eqnarray}です。
この区間では、$S(a)$は単調増加です。

(iii)  e^{-\sqrt{2}} < a < 1の場合
曲線 y = x \, e^{-x}と直線 y=axの交点を考えます。
\begin{equation}
x \, e^{-x} = ax, \quad x \ne 0
\end{equation}より、交点の$x$座標は
\begin{equation}
x = -\log a
\end{equation}です。
これより、
\begin{eqnarray}
S(a) &=& \int_0^\sqrt{2} |x \, e^{-x} -ax| dx \\
&=& \int_0^{-\log a} (x \, e^{-x} -ax) dx + \int_{-\log a}^\sqrt{2} (-x \, e^{-x} +ax) dx \\
&=& \left[ -(x+1) \, e^{-x} -\frac{1}{2} \, ax^2 \right]_0^{-\log a} + \left[ (x+1) \, e^{-x} +\frac{1}{2} \, ax^2 \right]_{-\log a}^\sqrt{2} \\
&=& (\log a -1) \, a -\frac{1}{2} \, a(\log a)^2 +1 +(\sqrt{2} +1)\, e^{-\sqrt{2}} +a +(\log a -1)\, a -\frac{1}{2} \, a(\log a)^2 \\
&=& 2a(\log a -1) -a(\log a)^2 +a +(\sqrt{2} +1)\, e^{+\sqrt{2}} +1
\end{eqnarray}を得ます。

導関数
\begin{eqnarray}
S'(a) &=& 2 +2(\log a -1) -(\log a)^2 -2\log a +1 \\
&=& -(\log a)^2 +1
\end{eqnarray}です。
 S'(a)=0のとき
\begin{eqnarray}
(\log a)^2 &=& 1 \\
\log a &=& \pm 1 \\
a &=& e^{\pm 1}
\end{eqnarray}となります。

$S(a)$は a=e{-\sqrt{2}}, \ 1で連続であり、$S(a)$の増減は次のようになります。
\begin{array}{|c|ccccc|}
\hline
a & e^{-\sqrt{2}} &\cdots & e^{-1} & \cdots & 1 \\ \hline
S'(a) && - & 0 & + & \\ \hline
S(a) && \searrow && \nearrow & \\ \hline
\end{array}

よって、$S(a)$の最小値は、
\begin{eqnarray}
S(e^{-1}) &=& -4e^{-1} -e^{-1} +e^{-1} +(\sqrt{2} +1) \, e^{-\sqrt{2}} +1 \\
&=& -4e^{-1} +(\sqrt{2} +1)\, e^{-\sqrt{2}} +1
\end{eqnarray}となります。

解説

積分微分を駆使する問題です。
形が煩雑なので、計算間違いに注意したいところです。