剰余の定理と因数定理

剰余の定理
整式をで割った余りはである。

因数定理
整式はを因数に持つ(割り切れる) ⇔

剰余の定理と因数定理は、整式の因数と余りについての重要な定理です。
整式が1次式の因数を持つかどうかを判定する、強力なツールです。

剰余の定理

整式を1次式で割ると、定数が余ります。1次以上の整式は、1次式で割ることができます。
整式を1次式で割った商を、余りをとすると、
\begin{equation}
P(x) = (x -a) Q(x) +R \tag{1}
\end{equation}と書くことができます。

式(1)においてとすると、
\begin{equation}
P(a) = R
\end{equation}を得ることができます。

因数定理

因数定理は、剰余の定理の特殊な形と見ることができます。
式(1)においてとすると、
\begin{equation}
P(x) = (x -a) Q(x) \tag{2}
\end{equation}となります。
整式は1次式を因数に持つ形になっています。
式(2)より、たちどころに
\begin{equation}
P(a) = 0 \tag{3}
\end{equation}を得ます。

つまり、

• 「整式は1次式を因数に持つ」ならば「」
• 「」ならば「整式は1次式を因数に持つ」

が共に成り立つことが分かります。