京大2021年理系第6問の問2 - 数式で独楽する

$a$を1より大きい定数とする。微分可能な関数 $f(x)$ が $f(a)=a f(1)$ を満たすとき、曲線 $y=f(x)$ の接線が原点(0, 0)を通るものが存在することを示せ。

解答例
解説

解答例

曲線 $y=f(x)$ 上の点 $(t, f(t))$ における接線の式は、
\begin{equation}
y = f'(t) (x -t) +f(t)
\end{equation}です。整理して
\begin{equation}
y = f'(t) \, x -t f'(t) +f(t)
\end{equation}を得ます。
接線の$y$切片は
\begin{equation}
g(t) = -t f'(t) +f(t)
\end{equation}となります。

(i) $f'(1)=f(1)$ の場合
\begin{equation}
g(1) = -f'(1) +f(1) =0
\end{equation} です。

(ii) $f'(a)=f(1)$ の場合
\begin{equation}
g(a) = -a f'(a) +f(a) = a \left( -f'(a) +f(1) \right) =0
\end{equation} です。

f:id:toy1972:20210228230140p:plain:w300
(iii) $f'(1) < f(1)$ かつ $f'(a) > f(1)$ の場合
\begin{eqnarray}
g(1) &=& -f'(1) +f(1) > 0 \\
g(a) &=& -a f'(a) +f(a) = a \left( -f'(a) +f(1) \right) < 0
\end{eqnarray}となります。

f:id:toy1972:20210301060859p:plain:w300
(iv) $f'(1) > f(1)$ かつ $f'(a) < f(1)$ の場合
\begin{eqnarray}
g(1) &=& -f'(1) +f(1) < 0 \\
g(a) &=& a \left( -f'(a) +f(1) \right) > 0
\end{eqnarray}です。

(v) $f'(1) > f(1)$ かつ $f'(a) > f(1)$ の場合
$f(b) = b f(1)$ なる $b \in (1, a)$ が存在し、 $f(b) \leqq 0$ です。
区間 $1 \leqq t \leqq a$ ] を $1 \leqq t \leqq b, \, b \leqq t \leqq a$ に分割すれば、上記(i)~(iv)に帰着できます。

(vi) $f'(1) < f(1)$ かつ $f'(a) < f(1)$ の場合
$f(b) = b f(1)$ なる $1< b < a$ が存在し、 $f(b) \geqq 0$ です。
上記(v)と符号のみ逆で、あとは同様です。

以上(i)~(vi)より、

$g(t)=0$ となる $1 \leqq t \leqq a$ が存在する
ことが示されます。
接線の$y$切片が $g(t)=0$ ということは、接線が原点(0, 0)を通ることを意味します。
したがって、
曲線 $y=f(x)$ の接線が原点(0, 0)を通るものが存在する
ことが示されます。(証明終わり)

解説

絵を描いてみれば一目瞭然ですが、「接線が原点を通る」をどのように表現するかが悩ましいです。
絵を見た感じから、ロルの定理や平均値の定理の亜種かと思いましたが、その筋で行くと上手くいきませんでした。
結局、接線の$y$切片を考えるに至り、 $x=1,a$ における接線の$y$切片の符号が異なることを示すことになりました。
ひとつの方法に拘り過ぎないように気を付けたいですね。