東大2021年理科第6問その2 - 数式で独楽する

定数$b,c,p,q,r$に対し、
\begin{equation}
x^4 +bx +c = (x^2 +px +q)(x^2 -px +r)
\end{equation}が$x$についての恒等式であるとする。
(1) $p \ne 0$ であるとき、$q,r$を$p,b$で表せ。
(2) $p \ne 0$ とする。$b,c$が定数$a$を用いて
\begin{equation}
b = (a^2 +1)(a +2), \quad c = -\left( a +\frac{3}{4} \right) (a^2 +1)
\end{equation}と表されているとき、有理数を係数とする$t$についての整式$f(t)$と $g(t)$で
\begin{equation}
\left \{ p^2 -(a^2 +1) \right \} \left \{ p^4 +f(a) p^2 +g(a) \right \} =0
\end{equation}を満たすものを1組求めよ。
(3) $a$を定数とする。$x$の4次式
\begin{equation}
x^4 +(a^2 +1)(a +2)\, x -\left( a +\frac{3}{4} \right) (a^2 +1)
\end{equation}が有理数を係数とする2次式の積に因数分解できるような$a$をすべて求めよ。

小問(1)の解答例
小問(2)の解答例
小問(3)の解答例
小問(3)の解説

小問(1)の解答例

小問(2)の解答例

前回の続きです。
東大2021年理科第6問その1 - 数式で独楽する

小問(3)の解答例

問題文の4次式を
\begin{equation}
x^4 +(a^2 +1)(a +2)\, x -\left( a +\frac{3}{4} \right) (a^2 +1) = (x^2 +p_1 x +q_1)(x^2 +p_2 +q_2)
\end{equation}とします。
3次の項の係数を比較すると
\begin{equation}
p_1 +p_2 = 0
\end{equation}なので、
\begin{equation}
x^4 +(a^2 +1)(a +2)\, x -\left( a +\frac{3}{4} \right) (a^2 +1) = (x^2 +px +q)(x^2 -px +r) \tag{3.1}
\end{equation}と書くことができます。

p=0の場合

(3.1)式において1次の項の係数を比較すると、
\begin{equation}
(a^2 +1)(a +2) =0
\end{equation}となります。$a$は整数なので、
\begin{equation}
a = -2 \tag{3.2}
\end{equation}です。
また、2次の項の係数と定数項をそれぞれ比較すると、
\begin{eqnarray}
q +r &=& 0 \tag{3.3} \\
-\left( a +\frac{3}{4} \right) (a^2 +1) &=& q r \tag{3.4}
\end{eqnarray}です。

式(3.2)~(3.4)より、
\begin{equation}
\frac{25}{4} = -q^2
\end{equation}を得ます。この式を満たす有理数$q$は存在しません。
よって $p=0$ の場合は不適です。

p≠0の場合

小問(1), (2)を適用することができます。
つまり、$p,a$について
\begin{equation}
\left \{ p^2 -(a^2 +1) \right \} \left \{ p^4 +(a^2 +1) p^2 +(a^2 +1)(a +2)^2 \right \} =0
\end{equation}が成り立ちます。
この式において、 $p^4 +(a^2 +1) p^2 +(a^2 +1)(a +2)^2 > 0$ なので、
\begin{eqnarray}
p^2 -(a^2 +1) &=& 0 \\
p^2 &=& a^2 +1 \tag{3.5}
\end{eqnarray}が成り立ちます。
設問の前提で$a$は整数なので、$p^2$は整数です。
また、設問の前提で$p$は有理数ですが、たった今$p^2$は整数と判明したので、$p$は整数となります。

式(3.5)において、$p$が整数となるような$a$は
\begin{equation}
a = 0
\end{equation}しかありません。
このとき
\begin{eqnarray}
p &=& \pm 1 \\
b &=& 2
\end{eqnarray}で、式(1.4), (1.5)により $(p,q,r)$ の組は
\begin{equation}
(p,q,r) = \left( 1, \, -\frac{1}{2}, \, \frac{3}{2} \right), \ \left( -1, \, \frac{3}{2}, \, -\frac{1}{2} \right)
\end{equation}となり、いずれも有理数となります。*1