数式で独楽する

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京大2015年 理系 第5問

$a,b,c,d$を正の実数として整式 f(x) = ax^2 +bx +c, \ g(x) =dx +eを考える。すべての正の整数$n$に対して \displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}は整数であるとする。このとき f(x) g(x)で割り切れることを示せ。

解答例

\begin{eqnarray}
\frac{f(n)}{g(n)} &=& \frac{an^2 +bn +c}{dn +e} \\
&=& \frac{a}{d} \cfrac{n^2 +\cfrac{b}{a} \, n +\cfrac{c}{a}}{n +\cfrac{e}{d}} \\
&=& \frac{a}{d} \left \{ n +\left( \frac{b}{a} -\frac{e}{d} \right) +\cfrac{\cfrac{c}{a} -\cfrac{e}{d} \left( \cfrac{b}{a} -\cfrac{e}{d} \right)}{n +\cfrac{e}{d}} \right \} \\
&=& \frac{a}{d} \left \{ n +\left( \frac{b}{a} -\frac{e}{d} \right) +\cfrac{ae^2 -bde +cd^2}{ad^2 \left( n +\cfrac{e}{d} \right) } \right \}
\end{eqnarray}が全ての正の整数$n$に対して整数なので、
\begin{equation}
ae^2 -bde +cd^2 =0
\end{equation}となります。

これより、
\begin{eqnarray}
f \left( -\frac{e}{d} \right) &=& a \cdot \frac{e^2}{d^2} -b \cdot \frac{e}{d} +c \\
&=& \frac{ae^2 -bde +cd^2}{d^2} =0
\end{eqnarray}となります。

したがって、因数定理により、 f(x) g(x)で割り切れることが分かります。
剰余の定理と因数定理 - 数式で独楽する

解説

 \displaystyle \frac{f(n)}{g(n)}が整数という条件から、整式と分数式に強引に分け、分数式の分子が0という条件を導いています。
この条件が、因数定理を使うとぴったりはまります。