京大 2014年理系第1問 - 数式で独楽する

座標空間における3つの直線 $l,m,n$ を考える。
$l$ は点A $(1,0,-2)$ を通り、ベクトル $\vec{u} = (2,1,-1)$ に平行な直線である。
$m$ は点B $(1,2,-3)$ を通り、ベクトル $\vec{v} = (1,-1,1)$ に平行な直線である。
$n$ は点C $(1,-1,0)$ を通り、ベクトル $\vec{w} = (1,2,1)$ に平行な直線である。
Pは $l$ 上の点とし、Pから $m,n$ に下ろした垂線の足をそれぞれQ, Rとする。このとき $\mathrm{PQ^2+PR^2}$ を最小にするようなPと、そのときの $\mathrm{PQ^2+PR^2}$ を求めよ。

f:id:toy1972:20210410073750p:plain:w300

解答例
解説

解答例

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{OP}} &=& (1,0,2) +p(2,1,-1) &=& (1 +2p, \ p, \ -2 -p) \\
\overrightarrow{\mathrm{OQ}} &=& (1,2,-3) +q(1,-1,1) &=& (1 +q, \ 2 -q, \ -3 +q) \\
\overrightarrow{\mathrm{OR}} &=& (1,-1,0) +r(1,2,1) &=& (1 +r, \ -1 +2r, \ r)
\end{eqnarray}とします。

\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{QP}} &=& (2p -q, \ p +q +2, \ -p -q +1) \\
\overrightarrow{\mathrm{QP}} \cdot \vec{v} &=& 0
\end{eqnarray}より、
\begin{eqnarray}
(2p -q) -(p +q -2) +(-p -q +1) &=& 0 \\
\therefore \quad q &=& 1
\end{eqnarray}を得ます。点Qの座標は
\begin{equation}
\mathrm{Q} (2,1,-2)
\end{equation}です。

同様に、
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{RP}} &=& (2p -r, \ p -2r +1, \ -p -r -2) \\
\overrightarrow{\mathrm{RP}} \cdot \vec{v} &=& 0
\end{eqnarray}より、
\begin{eqnarray}
(2p -r) -(p -2r +1) +(-p -r -2) &=& 0 \\
\therefore \quad r &=& \frac{1}{2} \, p
\end{eqnarray}を得ます。点Rの座標は
\begin{equation}
\mathrm{R} \left( 1 +\frac{1}{2} \, p, \ -1 -p, \ \frac{1}{2} \, p \right)
\end{equation}です。

これより、
\begin{eqnarray}
\mathrm{PQ}^2 &=& (2p -1)^2 +(p -1)^2 +p^2 \\
&=& 6p^2 -6p +2 \\
\mathrm{PR}^2 &=& \left( \frac{3}{2} \, p \right)^2 +1 +\left( \frac{3}{2} \, p +2 \right)^2 \\
&=& \frac{9}{2} \, p^2 +6p +5
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
\mathrm{PQ^2+PR^2} = \frac{21}{2} \, p^2 +7
\end{equation}となります。

したがって、 $\mathrm{PQ^2+PR^2}$ は $p=0$ のとき