解答例
\begin{equation}
\omega = \frac{-1 +\sqrt{3} \, i}{2}
\end{equation}とすると、
\begin{eqnarray}
\omega^2 &=& \frac{-1 -\sqrt{3} \, i}{2} \\
\omega^3 &=& 1 \tag{1}
\end{eqnarray}です。
また、
\begin{equation}
\omega^2 +\omega +1 = 0 \tag{2}
\end{equation}なので、
\begin{equation}
x^2 +x +1 = (x -\omega)(x -\omega^2)
\end{equation}と因数分解することができます。
ここで、
\begin{equation}
P(x) = (x^{100} +1)^{100} +(x^2 +1)^{100} +1
\end{equation}とします。
\begin{eqnarray}
P(\omega) &=& (\omega^{100} +1)^{100} +(\omega^2 +1)^{100} +1 \tag{3} \\
P(\omega^2) &=& (\omega^{200} +1)^{100} +(\omega^4 +1)^{100} +1 \tag{4}
\end{eqnarray}です。
式(1), (2)を用いると、
\begin{eqnarray}
(\omega^{100} +1)^{100} &=& (\omega +1)^{100} \\
&=& (-\omega^2)^{100} \\
&=& \omega^{200} \\
&=& \omega^2 \\
\\
(\omega^2 +1)^{100} &=& (-\omega)^{100} \\
&=& \omega^{100} \\
&=& \omega \\
\\
(\omega^{200} +1)^{100} &=& (\omega^2 +1)^{100} \\
&=& (-\omega)^{100} \\
&=& \omega \\
\\
(\omega^4 +1)^{100} &=& (\omega +1)^{100} \\
&=& (-\omega^2)^{100} \\
&=& \omega^2
\end{eqnarray}となります。
再び式(2)を用いると、式(3), (4)より
\begin{eqnarray}
P(\omega) &=& \omega^2 +\omega +1 = 0 \\
P(\omega^2) &=& \omega +\omega^2 +1 = 0
\end{eqnarray}を得ます。
よって、因数定理により、は
\begin{equation}
(x -\omega)(x -\omega^2) = x^2 +x +1
\end{equation}で割り切れることが分かります。
剰余の定理と因数定理 - 数式で独楽する
解説
が登場しています。
\begin{equation}
\omega^3 =1
\end{equation}とペアとなっていることに気が付けば、恐れるものは何もない問題です。
