京大 2008年理系第2問別解1 - 数式で独楽する

正四面体ABCDを考える。点Pは時刻0では頂点Aに位置し、1秒ごとにある頂点から他の3頂点のいずれかに、等しい確率で動くとする。このとき、時刻0から時刻 $n$ までの間に、4頂点A, B, C, Dのすべてに点Pが現れる確率を求めよ。ただし、 $n$ は1以上の整数とする。

解答例
解説

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解答例

時刻 $k \in \mathbb{N}$ で2, 3, 4頂点に点Pが現れる確率をそれぞれ $r_k, q_k, p_k$ とします。

点Pの動きは次の通りです。

時刻1では、必ず2つ目の頂点に動く。
時刻でPが2頂点に現れているとき
- 既に現れている2頂点に動く確率は1/3
- 3つ目の頂点に動く確率は2/3
時刻でPが3頂点に現れているとき
- 既に現れている3頂点に動く確率は2/3
- 4つ目の頂点に動く確率は1/3

これを数式にすると次のようになります。
\begin{eqnarray}
p_k &=& p_{k -1} +\frac{1}{3} \, q_{k -1} \tag{1} \\
q_k &=& \frac{2}{3} \, q_{k -1} +\frac{2}{3} \ r_{k -1} \tag{2} \\
r_k &=& \frac{1}{3} \, r_{k -1} \tag{3}
\end{eqnarray} \begin{eqnarray}
r_1 &=& 1 \tag{4} \\
q_1 &=& 0, & \quad q_2 &=& \frac{2}{3} \tag{5} \\
p_1 &=& 0, & \quad p_2 &=& 0, & \quad p_3 = \frac{2}{9} \tag{6}
\end{eqnarray}

式(3), (4)より、
\begin{equation}
r_k = \left( \frac{1}{3} \right)^{k -1} \tag{7}
\end{equation}を得ます。

式(2), (7)より、
\begin{equation}
q_k = \frac{2}{3} \, q_{k -1} +\frac{2}{3} \left( \frac{1}{3} \right)^{k -2}
\end{equation}となります。
分母を払います。
\begin{equation}
3^{k -1} q_k = 2 \cdot 3^{k -1} q_{k -2} +2 \tag{8}
\end{equation}ここで
\begin{equation}
a_k = 3^{k -1} q_k \tag{9}
\end{equation}とすると、式(8)は
\begin{equation}
a_k = 2a_{k -1} +2 \tag{10}
\end{equation}となります。
また、式(5)は
\begin{equation}
a_1 = 0, \quad a_2 = 2 \tag{11}
\end{equation}となります。
式(10)は
\begin{equation}
a_k +2 = 2(a_{k -1} +2)
\end{equation}と変形でき、式(11)を踏まえると
\begin{equation}
a_k +2 = 2^{k -2} (a_2 +2) = 2^k
\end{equation}つまり
\begin{equation}
a_k = 2^k -2 \tag{12}
\end{equation}となります。
2項間漸化式 - 数式で独楽する
式(9), (12)より、
\begin{eqnarray}
q_k &=& \frac{2^k}{3^{k -1}} -\frac{2}{3^{k -1}} \\
&=& 3 \left( \frac{2}{3} \right)^k -6 \left( \frac{1}{3} \right)^k \tag{13}
\end{eqnarray}を得ます。

ここまでは同じです。
京大 2008年理系第2問 - 数式で独楽する

ここからが別解です。

点Pが4頂点に現れるのは、2頂点でも3頂点でもないので
\begin{eqnarray}
p_k &=& 1 -q_k -r_k \\
&=& 1 -3\left( \frac{2}{3} \right)^k +6 \left( \frac{1}{3} \right)^k -3\left( \frac{1}{3} \right)^k \\
&=& 1 +3\left( \frac{1}{3} \right)^k -3\left( \frac{2}{3} \right)^k
\end{eqnarray}を得ます。

よって、求める確率は、
\begin{equation}
p_n = 1 +3\left( \frac{1}{3} \right)^n -3\left( \frac{2}{3} \right)^n
\end{equation}です。