京大 2008年 理系 第4問

定数は実数であるとする。関数とのグラフの共有点はいくつあるか。の値によって分類せよ。

解答例

\begin{eqnarray}
y &=& |x^2 -2| \\
y &=& |2x^2 +ax -1|
\end{eqnarray}を変形して
\begin{eqnarray}
y^2 &=& (x^2 -2)^2 \\
y^2 &=& (2x^2 +ax -1)^2
\end{eqnarray}とします。
\begin{eqnarray}
f(x) &=& (x^2 -2)^2 \\
g(x) &=& (2x^2 +ax -1)^2
\end{eqnarray}とすると
\begin{equation}
g(x) -f(x) = (3x^2 +ax -3)(x^2 +ax +1)
\end{equation}となります。
共有点の座標はを満たすので、次の式(1)または(2)が成り立つことになります。
\begin{eqnarray}
x^2 +ax +1 &=& 0 \tag{1} \\
3x^2 +ax -3 &=& 0 \tag{2}
\end{eqnarray}
両者の共有点は、
\begin{equation}
y = ax \tag{3}
\end{equation}と次の式(4)または(5)の共有点の数に一致します。
\begin{eqnarray}
y &=& -x^2 -1 \tag{4} \\
y &=& -3x^2 +3 \tag{5}
\end{eqnarray}

式(3)と(4)のグラフの共有点の数については、式(1)の判別式
\begin{equation}
D_1 = a^2 -4 = (a +2)(a -2)
\end{equation}により、次のように分類できます。
\begin{array}{ccc}
a < -2, \ 2 < a & \cdots & 2 \\
a \pm 2 & \cdots & 1 \\
-2 < a < 2 & \cdots & 0
\end{array}

式(3)と(5)のグラフの共有点の数は、式(2)の判別式が
\begin{equation}
D_2 = a^2 +36 > 0
\end{equation}なので、2個です。

式(4)と(5)のグラフの共有点について、
\begin{equation}
3x^2 -3 = x^2 +1
\end{equation}より、座標は
\begin{equation}
x = \pm \sqrt{2}
\end{equation}共有点は
\begin{equation}
( \pm \sqrt{2}, \ 3)
\end{equation}となります。
これより、とすれば、は式(4), (5)の共有点を通ります。

以上より、共有点の数をの値で分類すると、次のようになります。
\begin{array}{ccc}
0 \leqq |a| < 2 & \cdots & 2 \\
|a| = 2 & \cdots & 3 \\
2 < |a| < \displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}} & \cdots & 4 \\
|a| = \displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}} & \cdots & 3 \\
\displaystyle \frac{3}{\sqrt{2}} < |a| & \cdots & 4
\end{array}

解説

絶対値記号が付いたまま共有点を論じるのは、煩雑極まりないです。2乗して外すのが賢明です。
2乗して差をとると、容易に因数分解ができる形に
なります。
整理すると、2つの固定された放物線と原点で固定された可変の直線の交点を論じることになります。
直線と放物線の共有点は判別式を見れば一発ですが、放物線同士の交点が存在するのが曲者です。