を相異なる正の実数とする。数列
を
\begin{equation}
a_1 = 0, \qquad a_{n +1} = xa_n +y^{n +1} \quad (n = 1,2,3, \cdots)
\end{equation}によって定めるとき、が有限の値に収束するような点
の範囲を図示せよ。
解答例
なので、漸化式を
\begin{equation}
\frac{a_{n +1}}{y^{n +1}} = \frac{x}{y} \, \frac{a_n}{y^n} +1
\end{equation}と変形できます。
\begin{equation}
b_n = \frac{a_n}{y^n}
\end{equation}とおくと、
\begin{equation}
b_{n +1} = \frac{x}{y} \, b_{n +1} +1
\end{equation}となります。
なので
\begin{equation}
b_{n +1} +\frac{y}{x -y} = \frac{x}{y} \left( b_n +\frac{y}{x -y} \right)
\end{equation}とできます。
また、なので、
\begin{equation}
b_n +\frac{y}{x -y} = \frac{x^{n -1}}{y^{n -1}} \, \frac{y}{x -y}
\end{equation}つまり
\begin{equation}
b_n = \frac{y}{x -y} \left( \frac{x^{n -1}}{y^{n -1}} -1 \right)
\end{equation}となります。
2項間漸化式 - 数式で独楽する
2項間漸化式その2 - 数式で独楽する
よって、
\begin{equation}
a_n = y^n \, b_n = \frac{y^2}{x -y} \left( x^{n -1} -y^{n -1} \right)
\end{equation}を得ます。
の場合、
\begin{equation}
a_n = \frac{y^2}{x -y} \cdot y^{n -1} \left( \frac{x^{n -1}}{y^{n -1}} -1 \right)
\end{equation}なので、収束条件は
\begin{equation}
y < 1
\end{equation}となります。
の場合、
\begin{equation}
a_n = \frac{y^2}{x -y} \cdot x^{n -1} \left( 1 -\frac{y^{n -1}}{x^{n -1}} \right)
\end{equation}なので、収束条件は
\begin{equation}
x < 1
\end{equation}となります。
以上をまとめると、求める収束条件
\begin{equation}
0 < x < 1 \quad \mbox{かつ} \quad 0 < y < 1 \quad \mbox{ただし} \quad y \ne x
\end{equation}を得ます。
図示すると、図の着色部で、破線部は除きます。
解説
漸化式が、冪乗項の付いた見慣れない形をしています。
簡単な変換で2項間漸化式にすることができます。
等比数列の項が出て来るので、公比が1未満となる条件を出すことになります。
なお、の場合、
\begin{eqnarray}
\frac{a_{n +1}}{y^{n +1}} &=& \frac{a_n}{y^n} +1 \\
\frac{a_n}{y^n} &=& n -1 \\
a_n &=& (n -1) y^n
\end{eqnarray}となります。こちらも収束条件は
\begin{equation}
0 < y < 1
\end{equation}です。
等比数列の亜種の極限 その1 - 数式で独楽する
