△ABCの頂点A, B, C、傍心IA, IB, ICの位置ベクトルをそれぞれ
とすると、
\begin{eqnarray}
\vec{i}_\mathrm{A} &=& \frac{-a \, \vec{a} +b \, \vec{b} \, +c \, \vec{c}}{-a +b +c} \\
\vec{i}_\mathrm{B} &=& \frac{a \, \vec{a} -b \, \vec{b} \, +c \, \vec{c}}{a -b +c} \\
\vec{i}_\mathrm{C} &=& \frac{a \, \vec{a} +b \, \vec{b} \, -c \, \vec{c}}{a +b -c}
\end{eqnarray}
なお、は辺BC, CA, ABの長さです。
頂点Aから見て対辺BCの反対側にある傍心をIA、傍接円の半径をとします。記号の読み替えは次の通りです。
頂点 対辺 傍心 半径 A BC IA B CA IB C AB IC
本稿では、素直に導いてみます。
三角形の傍心の位置ベクトル - 数式で独楽する
とは異なる手法です。
三角形の外角の二等分線は、対となる内角の対辺を残りの2辺の比に外分します。
三角形の外角の二等分線による対辺の分割 - 数式で独楽する
△ABCの傍心IAについて、定数を用いて
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AI_A}} &=& k \left( b \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +c \,\overrightarrow{\mathrm{AC}} \right) \tag{1} \\
\overrightarrow{\mathrm{BI_A}} &=& l \left( -c \, \overrightarrow{\mathrm{BC}} +a \, \overrightarrow{\mathrm{BA}} \right) \tag{2}
\end{eqnarray}と表すことができます。
なお、今のところとしておきます。
式(2)は
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{AI_A}} -\overrightarrow{\mathrm{AB}} &=& l \left \{ -c \, \left( \overrightarrow{\mathrm{AC}} -\overrightarrow{\mathrm{AB}} \right) -a \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} \right \} \\
\overrightarrow{\mathrm{AI_A}} &=& (1 -la +lc) \overrightarrow{\mathrm{AB}} -lc \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \tag{3}
\end{eqnarray}と変形できます。
式(1), (3)より、次の式(4), (5)が同時に成立します。
\begin{eqnarray}
kb &=& 1 -la +lc \tag{4} \\
kc &=& -lc \tag{5}
\end{eqnarray}なので、
\begin{equation}
k = -l = \frac{1}{-a +b +c}
\end{equation}となります。
これを式(1)に返して
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AI_A}} = \frac{b \, \overrightarrow{\mathrm{AB}} +c \,\overrightarrow{\mathrm{AC}}}{-a + b +c} \tag{6}
\end{equation}を得ます。
の場合は
\begin{eqnarray}
\overrightarrow{\mathrm{BI_A}} &=& l \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \\
\overrightarrow{\mathrm{AI_A}} &=& \overrightarrow{\mathrm{AB}} +l \, \overrightarrow{\mathrm{AC}} \tag{7}
\end{eqnarray}です。式(1), (7)より
\begin{eqnarray}
kb &=& 1 \\
kc &=& l
\end{eqnarray}が同時に成り立ちます。
これより、
\begin{eqnarray}
k &=& \frac{1}{b} \\
l &=& \frac{c}{b}
\end{eqnarray}となり、
\begin{equation}
\overrightarrow{\mathrm{AI_A}} = \overrightarrow{\mathrm{AB}} +\frac{c}{b} \, \overrightarrow{\mathrm{AC}}
\end{equation}を得ます。これは式(6)を満足しています。
式(6)を位置ベクトルを用いて表すと、
\begin{equation}
\vec{i}_\mathrm{A} -\vec{a} = \frac{ b\, \left( \vec{b} -\vec{a} \right) +c \, \left( \vec{c} -\vec{a} \right)}{-a +b +c}
\end{equation}より、
\begin{equation}
\vec{i}_\mathrm{A} = \frac{-a \, \vec{a} +b \, \vec{b} \, +c \, \vec{c}}{-a +b +c}
\end{equation}を得ます。
同様にして、
\begin{eqnarray}
\vec{i}_\mathrm{B} &=& \frac{a \, \vec{a} -b \, \vec{b} \, +c \, \vec{c}}{a -b +c} \\
\vec{i}_\mathrm{C} &=& \frac{a \, \vec{a} +b \, \vec{b} \, -c \, \vec{c}}{a +b -c}
\end{eqnarray}です。
