\begin{equation}
\cosh^{-1} x = \pm \log \left( x +\sqrt{x^2 +1} \right)
\end{equation}
\begin{equation}
y = \cosh x = \frac{e^x +e^{-x}}{2} \tag{1}
\end{equation}とします。
変形すると
\begin{equation}
e^{2x} -2y \, e^x +1 = 0
\end{equation}となります。
について解くと、
\begin{equation}
e^x = y \pm \sqrt{y^2 -1}
\end{equation}となります。
なお、とすると
\begin{eqnarray}
y -\sqrt{y^2 -1} &=& y -y\sqrt{1 -\frac{1}{y^2}} \to 0 \\
y +\sqrt{t^2 -1} & \to & \infty \\
e^x & \to & \infty
\end{eqnarray}なので、適当なのは
\begin{equation}
e^x = y +\sqrt{y^2 -1}
\end{equation}のみです。
よって
\begin{equation}
x = \log (y +\sqrt{y^2 -1})
\end{equation}を得ます。
一方、式(1)は
\begin{equation}
e^{-2x} -2y \, e^{-x} +1 = 0
\end{equation}とも変形でき、
\begin{equation}
e^{-x} = y +\sqrt{y^2 -1}
\end{equation}より
\begin{equation}
x = -\log (y +\sqrt{y^2 -1})
\end{equation}を得ます。
以上より、
\begin{equation}
\cosh^{-1} x = \pm \log \left( x +\sqrt{x^2 -1} \right)
\end{equation}となります。
なお、なので、の定義域はとなります。