\begin{equation}
\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \, \log \frac{1 +x}{1 -x} \quad (-1 < x < 1)
\end{equation}
\begin{equation}
y = \tanh x = \frac{e^x -e^{-x}}{e^x +e^{-x}}
\end{equation}とします。
変形すると
\begin{eqnarray}
(e^x +e^{-x}) \, y &=& e^x -e^{-x} \\
(e^{2x} +1) \, y &=& e^{2x} -1 \\
(y -1) \, e^{2x} &=& -y -1 \\
e^{2x} &=& \frac{1 +y}{1 -y}
\end{eqnarray}となります。
したがって、
\begin{equation}
x = \frac{1}{2} \, \log \frac{1 +y}{1 -y}
\end{equation}を得ます。
よって、
\begin{equation}
\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \, \log \frac{1 +x}{1 -x}
\end{equation}です。
なお、なので、
の定義域は
となります。
グラフは下の図の緑の線です。
