\begin{equation}
\coth^{-1} x = \frac{1}{2} \, \log \frac{x +1}{x -1} \quad (-x < 1, \ 1 < x)
\end{equation}
\begin{equation}
y = \coth x = \frac{e^x +e^{-x}}{e^x -e^{-x}}
\end{equation}とします。
変形すると
\begin{eqnarray}
(e^x -e^{-x}) \, y &=& e^x +e^{-x} \\
(e^{2x} -1) \, y &=& e^{2x} +1 \\
(y -1) \, e^{2x} &=& y +1 \\
e^{2x} &=& \frac{y +1}{y -1}
\end{eqnarray}となります。
したがって、
\begin{equation}
x = \frac{1}{2} \, \log \frac{y +1}{y -1}
\end{equation}を得ます。
よって、
\begin{equation}
\tanh^{-1} x = \frac{1}{2} \, \log \frac{x +1}{x -1}
\end{equation}です。
なお、なので、
の定義域は
となります。
グラフは下の図の青の線です。
