負の対数

対数関数の引数、つまり真数は正の数という制約がありますが、

\begin{equation}
\log (-1) = \pi i
\end{equation}

なる不思議な関係があります。

オイラーの公式
\begin{equation}
e^{ix} = \cos x +i \, \sin x
\end{equation}においてとして得られるオイラーの等式
\begin{equation}
e^{\pi i} = -1
\end{equation}を用います。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
円周率、虚数単位、ネイピア数の関係 - 数式で独楽する

すると、
\begin{eqnarray}
\log (-1) &=& \log e^{\pi i} \\
&=& \pi i
\end{eqnarray}を導くことができます。

なお、は周期関数であり、
\begin{equation}
e^{(2n +1) \, \pi i} = -1 \quad (n \in \mathbb{Z})
\end{equation}なので、
\begin{equation}
\log (-1) = (2n +1)\, \pi i
\end{equation}と、複数の値をとることができます。は整数ですよ。