関数のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f} \! (q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(x)
\end{equation}とします。
回微分のフーリエ変換
\begin{equation}
h(x) = \frac{d^n}{dx^n} \, f(x)
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = (iq)^n \, \hat{f} \! (q)
\end{equation}
1回微分のフーリエ変換は
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ \frac{d}{dx} \, f(x) \right] = iq \, \mathcal{F}[f(x)] = iq \, \hat{f} \! (q)
\end{equation}です。
微分のフーリエ変換 - 数式で独楽する
これを繰り返すことで
\begin{eqnarray}
\hat{h} (q) &=& \mathcal{F} \left[ \frac{d^n}{dx^n} \, f(x) \right] \\
&=& (iq)^n \, \hat{f} \! (q)
\end{eqnarray}を得ます。
なお、前提として
\begin{equation}
\lim_{x \to \pm \infty} e^{-iqx} \ f^{(k)}(x) = 0 \quad (k = 1, 2, \cdots, n -1)
\end{equation}としています。
フーリエ変換を行うと、微分は変数の掛け算になります。
複雑な微分演算が、代数演算になるのです。
