関数のフーリエ変換をそれぞれ
\begin{equation}
\hat{f} \! (q), \ \hat{g}(q), \ \hat{h}(x)
\end{equation}とします。
変数倍のフーリエ変換
\begin{equation}
h(x) = x \, f(x)
\end{equation}のとき、
\begin{equation}
\hat{h}(q) = i \, \frac{d}{d q} \, \hat{f} \! (q)
\end{equation}
定義に従って変形させていきます。
\begin{eqnarray}
\hat{h} (q) &=& \int_{-\infty}^\infty d q \, e^{-iqx} \, h(x) \\
&=& \int_{-\infty}^\infty d q \, e^{-iqx} \, x \, f(x) \tag{1}
\end{eqnarray}
さて、
\begin{equation}
\frac{d}{d q} \, e^{-iqx} = -ix \, e^{-iqx}
\end{equation}ですが、両辺を倍すると、
\begin{equation}
x \, e^{-iqx} = i \, \frac{d}{dx} \, e^{-iqx}
\end{equation}となります。これを式(1)に返すと
\begin{equation}
\hat{h} (q) = \int_{-\infty}^\infty dx \, \frac{d}{d q} \, e^{-iqx} \, f(x) \tag{2}
\end{equation}となります。
式(2)の変数に着目すると、の微分に関係するのはのみで、他は定数扱いです。つまり、全体をの微分としても結果は変わりません。したがって、式(2)より
\begin{eqnarray}
\hat{h} (q) &=& i \, \frac{d}{d q} \int_{-\infty}^\infty dx \, e^{-iqx} \, f(x) \\
&=& i \, \frac{d}{d q} \, \hat{f} \! (q)
\end{eqnarray}を得ます。
こういう導き方もあります。
変数倍のフーリエ変換 その2 - 数式で独楽する
toy1972.hatenablog.com
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