関数のフーリエ変換を
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ f(x) \right] = \hat{f} \! (q) = \int_{-\infty}^\infty f(x) \, e^{-iqx}\, dx
\end{equation}と表記することとします。
引数が純虚数である指数関数のフーリエ変換
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} \left[ \exp \left( -iax^2 \right) \right] &=& \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp \left( i \, \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right) \\
\mathcal{F} \left[ \exp \left( iax^2 \right) \right] &=& \sqrt{\frac{\pi}{a}} \exp \left( -i \, \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right)
\end{eqnarray}
このことを、ガウス関数のフーリエ変換
ガウス関数のフーリエ変換 - 数式で独楽する
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ \exp \left( -\frac{x^2}{\sigma^2} \right) \right] = \sqrt{\pi} \, \sigma \exp \left( -\frac{\sigma^2 q^2}{4} \right)
\end{equation}より導いていきます。
まず、と置き換えると、
\begin{equation}
\mathcal{F} \left[ \exp \left( -ax^2 \right) \right] = \sqrt{\frac{\pi}{a}} \, \exp \left( -\frac{q^2}{4a} \right)
\end{equation}となります。
さらに、を
に置き換えて、
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} \left[ \exp \left( -iax^2 \right) \right] &=& \sqrt{\frac{\pi}{ia}} \, \exp \left( -\frac{q^2}{4ia} \right) \\
&=& \sqrt{-\frac{\pi i}{a}} \, \exp \left( \frac{iq^2}{4a} \right) \\
&=& \sqrt{\frac{\pi}{a}} \, \exp \left( i \, \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right)
\end{eqnarray}を得ます。
なお、
\begin{eqnarray}
\sqrt{-i} &=& \left \{ \exp \left( -\frac{\pi i}{2}\right) \right \}^{1/2} \\
&=& \exp \left( -\frac{\pi i}{4} \right)
\end{eqnarray}です。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
さらにを
に置き換えると、
\begin{eqnarray}
\mathcal{F} \left[ \exp \left( iax^2 \right) \right] &=& \sqrt{\frac{\pi}{-a}} \, \exp \left( i \, \left( \frac{q^2}{-4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right) \\
&=& i \sqrt{\frac{\pi}{a}} \, \exp \left( -i \, \left( \frac{q^2}{4a} +\frac{\pi}{4} \right) \right) \\
&=& \sqrt{\frac{\pi}{a}} \, \exp \left( -i \, \left( \frac{q^2}{4a} -\frac{\pi}{4} \right) \right)
\end{eqnarray}を得ます。
なお、
\begin{equation}
i = \exp \frac{\pi i}{2}
\end{equation}です。
指数関数の級数展開とオイラーの公式 - 数式で独楽する
引数が純虚数の指数関数のフーリエ変換ですが、
- 変数が
だとディラックのデルタ関数
- 変数を
とすると指数関数
となるのが面白いところです。
また、変換後の引数にが現れるのは不思議な感じがします。
指数関数(引数は純虚数)のフーリエ変換 - 数式で独楽する
