2002年前期京大理系第6問 - 数式で独楽する

$0 < \theta < 90$ とし、 $a$ は正の数とする。複素数平面上の点 $z_0, z_1, z_2, \cdots$ を次の条件(i), (ii)を満たすように定める。
(i) $z_0 = 0, \ z_1 = a$
(ii) $n \geqq 1$ のとき、点 $z_n -z_{n -1}$ を原点のまわりに $\theta^\circ$ 回転すると点 $z_{n +1} -z_n$ に一致する。
このとき点 $z_n \ (n \geqq 1)$ が点 $z_0$ と一致するような $n$ が存在するための必要十分条件は、 $\theta$ が有理数であることを示せ。

解答例
解説

解答例

\begin{equation}
q = \frac{\theta}{180} \, \pi
\end{equation}とすると、
\begin{equation}
z_{n +1} -z_n = e^{qi} (z_n -z_{n -1})
\end{equation}が成り立ちます。

これより
\begin{eqnarray}
z_n -z_{n -1} &=& e^{(n -1) qi} (z_1 -z_0) \\
&=& a \, e^{(n -1)qi} \tag{1}
\end{eqnarray}を得ます。

また、
\begin{eqnarray}
z_n -z_{n -1} &=& e^{qi} (z_{n -1} -z_{n -2}) \\
z_{n -1} -z_{n -2} &=& e^{qi} (z_{n -2} -z_{n -3}) \\
& \vdots & \\
z_2 -z_1 &=& e^{qi} (z_1 -z_0)
\end{eqnarray}の辺々相加えて
\begin{eqnarray}
z_n -z_1 &=& e^{qi} (z_{n -1} -z_0) \\
\therefore \quad z_n -a &=& e^{qi} \, z_{n -1} \tag{2}
\end{eqnarray}を得ます。

いま、 $z_n = 0$ となるときを考えます。
式(1)は
\begin{equation}
z_{n -1} = -a \, e^{(n -1) qi} \tag{3}
\end{equation}となります。
式(2)は
\begin{equation}
z_{n -1} = -a \, e^{-qi} \tag{4}
\end{equation}となります。
式(3), (4)より、
\begin{equation}
e^{nqi} = 1
\end{equation}を得ます。

したがって、整数 $m$ を用いて
\begin{equation}
nq = 2m\pi
\end{equation}と表すことができます。
文字 $q$ を元に戻すと、
\begin{eqnarray}
\frac{n\theta}{180} \, \pi &=& 2m\pi \\
\therefore \quad \theta &=& \frac{360m}{n}
\end{eqnarray}を得ます。
よって、 $\theta$ は有理数であることが示されました。

逆に $\theta$ が有理数のとき、整数 $m,n$ を用いて
\begin{equation}
\theta = \frac{360m}{n} \, \pi
\end{equation}とでき、
\begin{equation}
q = \frac{\theta}{180} \, \pi
\end{equation}とすれば
\begin{equation}
e^{nqi} = 1
\end{equation}となる $n$ が存在します。

式(1), (2)を辺々相乗じて
\begin{eqnarray}
(z_n -z_{n -1})(z_n -a) &=& a \, e^{nqi} z_{n -1} \\
&=& az_{n -1}
\end{eqnarray}となります。
整理すると、
\begin{eqnarray}
{z_n}^2 -(z_{n -1} +a) z_n +az_{n -1} &=& az_{n -1} \\
z_n \left \{ z_n -(z_{n -1} +a) \right \} &=& 0 \tag{5}
\end{eqnarray}となります。
\begin{equation}
z_n -z_{n -1} = a
\end{equation}の場合、 $z_n = 0$ にはなり得ません。
よって、式(5)より
\begin{equation}
z_n = 0
\end{equation}を得ます。